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定义一：正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比称为∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词缩写而来），即sinA=∠A的对边/斜边。
然而，这个定义存在局限性。虽然其解释直观且适合初学者，但仅限于角的取值范围在0°至90°之间，且不包括0°和90°。这种表述方式无法涵盖自变量的全部取值范围。
一个更为高级的定义：在直角坐标系中，设定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v即为角α的正弦函数，记作v=sinα。
这个定义克服了上述限制。
在计算器或其他电子计算工具普及之前，人们常通过三角函数对照表来计算三角函数值。
三角函数对照表
然而，三角函数对照表提供的数值为近似值，在一些对计算精度要求极高的场景中，可能无法满足需求。
以正弦函数值的计算为例，通过求得正弦函数值，可以进一步推导出其他三角函数的解析值。这里的解析值指的是精确解（如√2/2），而非近似解（如1.41421356237）。
从后续内容可以看出，1°至90°的三角函数值（如正弦函数值）均具有解析解，均可通过正整数的加减乘除、开根号（二次根号、三次根号等）、负号等构成的式子精确表达，而非三角函数表中的近似值。
通过计算1°～90°角的三角函数值，再结合三角函数的诱导公式，便可以推导出91°-360°角的三角函数解析值。
基于正弦函数的定义，可以得出以下推论：
道生无，无即0。“道”（Tao）即前文所述的正弦函数定义。
因此，我们从0出发，探讨如何给出所有1°到89°的正弦函数的解析值（注意，此处指的是精确的解析值，而非小数的近似值）。
∵ sin(30°) = 1/2，所以 sin(15°) = sin(30°)/2 = 1/4。
∴ sin(15°) = √(1 – cos²(15°))。
根据正弦函数的半角公式，可以推导出：
根据正弦函数的三倍角公式，得到 sin(45°) = 3sin(15°) – 4sin³(15°)，也即 1/√2 = 3sin(15°) – 4sin³(15°)。这是一个关于 sin(15°) 的一元三次方程。解该方程，得到 sin(15°) 的精确值。
15°角的三角函数值的几何求法：
sin(15°) = sin(45° – 30°) = sin(45°)cos(30°) – cos(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) – (√2/2)(1/2) = (√6 – √2)/4。
也可以根据三倍角公式求得 sin(15°) = sin(45°)/3 – 4sin³(45°)/3。这是一个关于 sin(45°) 的一元三次方程。根据一元三次方程的求根公式，解该方程，得到 sin(45°) 的精确值。
18°角的三角函数值：
1）几何方法：构建一个等腰三角形，并添加辅助线，设为∠BAC的角平分线，且 AB = AC。设 AD = x，BD = y。通过几何关系，可以推导出 sin(18°) = x/(x+y)。
2）代数方法：利用两倍角公式和三倍角公式，结合 sin(18°) 是方程的一个根，而该方程有三个根（舍去负根和大于1的根），可以推导出 sin(18°) 的精确值。
验算一下，将 sin(18°) 代入三倍角公式，得到
不难排除两个不合理解，而是合理解，即 sin(18°) = (√5 – 1)/4。
道家：无生有！
只要算出了 sin(18°) 的值，其他任何整数度数的三角函数值就迎刃而解了。正所谓“有生万物”！
（一生二）
sin(36°) = sin(2×18°) = 2sin(18°)cos(18°) = 2(√5 – 1)/4 * √(1 – (√5 – 1)/4)² = (√10 + 2 – √5)/4。
sin(54°) = sin(90° – 36°) = cos(36°) = √(1 – sin²(36°)) = √(1 – ((√10 + 2 – √5)/4)²) = (√5 + 1)/4。
sin(72°) = sin(2×36°) = 2sin(36°)cos(36°) = 2((√10 + 2 – √5)/4) * (√5 + 1)/4 = (√15 + √3)/4。
sin(90°) = 1。
通过上述计算，我们实际上已经证明了一个结论：当角度为整数时，函数值是一个代数数。
1°、2°、3°、4°、5°、6°、7°、8°、9°、10°、
11°、12°、13°、14°、15°、16°、17°、18°、19°、20°、
21°、22°、23°、24°、25°、26°、27°、28°、29°、30°、
31°、32°、33°、34°、35°、36°、37°、38°、39°、40°、
41°、42°、43°、44°、45°的正弦函数值都是有精确解，在此基础上可以计算出他们的余弦函数值，再根据三角函数的诱导公式，计算出46°-90°的正弦函数，进而求出其他任意整数度数的三角函数精确值表达。
求得精确值后，在实际工程应用中，可以根据具体场景需要，计算到任意精度。
当然，随着人类计算手段的不断发展，实际工程中，多半会采用三角函数的泰勒级数展开，如
正弦函数的连分数表示：
这两个公式中的自变量是弧度，而非度数。如果是弧度，级数展开公式变为：