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2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试卷
考试说明：
1．考试时间120分钟，满分150分。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=1或x=2}，则A∩B=
A．{1}B．{2}C．{1,2}D．∅
2．已知集合M={x|x>0}，N={x|x≤-1}，则M∪N=
A．{x|x≥0}B．{x|x≤-1}C．{x|x≠0}D．R
3．若复数z满足|z|=1，则z^2可能的取值有
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．古希腊美学认为人体比例符合黄金分割较为优美，即身体某部分与整体之比约为0.618。若某人躯干长度（头顶至肚脐）为身高的一半，且腿长与躯干长度之比也符合黄金分割，则该人体重可能为
A．160cmB．170cmC．180cmD．190cm
5．函数f(x)=sin(x+π/4)在[-π/2, π/2]上的图像大致为
A． B．
C． D．
6．某班级有50名学生，要抽取10名学生参加活动，采用系统抽样的方法，若第3名学生被抽中，则第15名学生是否被抽中？
A．是B．否C．不确定D．无法判断
7．tan300°的值为
A．√3B．-√3C．1D．-1
8．已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a与向量b的夹角为
A．30°B．60°C．120°D．150°
9．如图所示程序框图，计算S=1+2+3+…+n的值，空白框应填入
A．i=i+1B．i=i-1C．n=n+1D．n=n-1
10．双曲线C：x^2/9-y^2/16=1的一条渐近线的倾斜角为
A．30°B．45°C．60°D．90°
11．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若asinA-bsinB=4csinC，且cosA=-1/2，则a:b:c=
A．1:2:3B．2:3:4C．3:4:5D．4:5:6
12．已知椭圆C的焦点为F1、F2，过F2的直线与C交于A、B两点，若|AF1|=2|BF1|，则椭圆C的方程为
A．x^2/16+y^2/9=1B．x^2/9+y^2/16=1C．x^2/25+y^2/20=1D．x^2/20+y^2/25=1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程为___________。
14．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，q=3，则S4=___________。
15．函数f(x)=x^2-4x+3的最小值为___________。
16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC、BC的距离均为√2，那么P到平面ABC的距离为___________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
某商场随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意评价，得到列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K^2=∑(O-E)^2/E，其中O为观测值，E为期望值。P(K^2≥k)0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
18．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5。
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围。
19．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点。
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离。
20．（12分）
已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f′(x)为f(x)的导数。
（1）证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；
（2）若x∈[0,π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围。
21.（12分）
已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切。
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ρcosθ=2。
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值。
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）a+b+c≥3(ab+bc+ca)；
（2）a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca。
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学•参考答案
一、选择题
1．C2．C 3．B4．B5．D6．A
7．B8．C9．A10．C11．A12．B
二、填空题
13．y=3x-2 14．80 15．-1 16．√2
三、解答题
17．解：
（1）男顾客中对该商场服务满意的比率为40/50=0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为30/50=0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．
（2）K^2=∑(O-E)^2/E=（40-35）^2/35+（10-15）^2/15+（30-35）^2/35+（20-15）^2/15=8/7≈1.143
由于1.143<3.841，故没有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18．解：
（1）设等差数列{an}的公差为d．
由S9=－a5得9a1+36d=-a1-4d，即10a1+40d=0，故a1=-4d．
由a3=4得a1+2d=4，即-4d+2d=4，解得d=-2，故a1=8．
因此{an}的通项公式为an=8-2(n-1)=10-2n．
（2）由（1）得Sn=n^2-7n，故Sn≥an等价于n^2-7n≥10-2n，即n^2-5n-10≥0，解得n≤-2或n≥5．
所以n的取值范围是n≥5．
19．解：
（1）连结AE、ME、NE．因为M、E分别为BC、BB1的中点，所以ME平行且等于1/2AC，且ME⊂平面C1DE．又因为N为A1D的中点，所以NE平行且等于1/2A1D，且NE⊂平面C1DE．
由题设知AC=A1D，可得ME=NE，故四边形MNDE为平行四边形，MN平行于DE，因此MN∥平面C1DE．
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H．
由已知可得CE=1，C1C=4，所以CH=√(CE^2+C1C^2)=√(1^2+4^2)=√17．
从而点C到平面C1DE的距离为√17．
20．解：
（1）设f′(x)=0，则2cosx-xsinx-sinx=0，即2cosx=2sinx，故tanx=1，x=π/4．
当0<x0；当π/4<x<π时，f′(x)<0，故f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点x=π/4．
（2）由题设知f(x)≥ax，即2sinx-xcosx-x≥ax，故a≤2sinx-x(cosx+1)/x=2sinx-cosx-1．
令g(x)=2sinx-cosx-1，则g′(x)=2cosx+sinx，当0<x0，故g(x)在[0,π]上单调递增，
g(x)max=g(π)=2sinπ-cosπ-1=-2，故a≤-2．
21．解：（1）因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上，即直线y=x上．
又因为A在直线x+y=0上，且关于坐标原点O对称，所以A(-1,1)，B(1,-1)，
故圆心M在直线y=x上，且M的横坐标为0，即M(0,0)．
因为⊙M与直线x+2=0相切，所以⊙M的半径为2．
（2）存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值．
理由如下：
设A(x0,y0)，由已知得⊙M的方程为(x-0)^2+(y-0)^2=4，
故|MA|-(x0^2+y0^2-4)^(1/2)为定值2．
令P为抛物线y^2=4x的焦点，则P(1,0)，
|MA|-|MP|=|MA|-|PF1|≥|AF1|=2，故存在定点P(1,0)满足条件．
22．解：
（1）由x=cosht，y=sint得C的直角坐标方程为x^2+y^2=1．
由ρcosθ=2得l的直角坐标方程为x=2．
（2）设C的参数方程为(x,y)=(cosht,sint)，则C上的点到l的距离为|cosht-2|．
当t=π/2时，|cosht-2|=1，故C上的点到l距离的最小值为1．
23．解：
（1）由abc=1得a=(bc)^(-1/2)，
故a+b+c=(bc)^(-1/2)+b+c≥3√[2(bc)^(-1/2)bc]=3√2．
又ab+bc+ca≥3√[3(abca)^(1/2)]=3√3，故a+b+c≥3(ab+bc+ca)．
（2）由(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0得a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca．