函数$e^x$，也称为自然指数函数，是数学中一个非常重要的基本函数。它的定义域和值域都相当广泛，并且具有许多有趣的性质。
定义域：
函数$e^x$的定义域是所有实数集合$mathbb{R}$。这意味着对于任何实数$x$，都有$e^x$存在。这个函数的图像是一个连续曲线，从原点$(0,1)$开始，随着$x$的增加，$y$的值也相应地增加，最终趋向于正无穷大。
值域：
函数$e^x$的值域也是所有实数集合$mathbb{R}$。这是因为无论$x$取什么值，$e^x$总是大于0。当$x=0$时，$e^x=1$；当$xtoinfty$时，$e^xtoinfty$。$e^x$的值域是$(0, infty)$。
性质：
– 连续性：$e^x$在$mathbb{R}$上是连续的。
– 可导性：$e^x$在其定义域内处处可导，且其导数为$e^x$。
– 单调性：$e^x$在整个实数范围内都是单调递增的。
– 周期性：$e^x$不是周期函数，因为它没有重复的模式或周期性特征。
– 渐近行为：当$xtopminfty$时，$e^xtoinfty$（增长）和$e^xto 0$（趋于0）。
– 泰勒展开：$e^x$可以通过泰勒级数展开为：
$$
e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + cdots
$$
这表明$e^x$可以表示为一系列多项式的和，每一项的系数都是$x$的幂次。
应用：
由于$e^x$的性质，它在许多数学和工程问题中都有重要应用。例如，在物理学中，$e^x$用于描述物体随时间衰减的过程，如放射性衰变。在经济学中，它常用于计算复利效应。在计算机科学中，$e^x$经常被用作计算器中的自然对数函数的近似值。
函数$e^x$是一个极其强大且广泛应用的基本函数，它的美妙之处在于其定义域和值域的无限宽广以及其内在的性质和性质。