当$p > 1$时，级数收敛的条件是：
对于任意的$epsilon > 0$，存在一个正整数$N$，使得当$n > N$时，有$|a_n| < frac{1}{p^n}$。
这个条件表明，随着项数的增加，每一项的绝对值与$p$的幂次相比都变得足够小，以至于它们对级数的贡献可以忽略不计。换句话说，级数的增长速度被限制在$p$的幂次范围内，因此级数收敛。
为了更直观地理解这个条件，我们可以将其与幂级数的定义联系起来。幂级数是一个无穷级数，其通项公式为$a_n = a + ap + ap^2 + cdots + ap^{n-1}$，其中$a$是一个常数。当$p > 1$时，级数收敛意味着每一项的绝对值都小于$p$的相应幂次。这是因为随着项数的增加，每一项的贡献都会减小到可以被忽略的程度。
例如，考虑幂级数$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n frac{x^n}{n!}$，当$p > 1$时，我们可以通过比较系数来证明这个级数收敛。具体来说，我们有：
$$lim_{n to infty} left|frac{(-1)^n x^n}{n!}right| = lim_{n to infty} left|frac{(-1)^n x^n}{n!}right| = lim_{n to infty} left|frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}right| = lim_{n to infty} left|frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}right| = 0$$
这意味着每一项的绝对值都小于$p$的相应幂次，因此级数收敛。
当$p > 1$时，级数收敛的条件是每一项的绝对值都小于$p$的相应幂次。这个条件确保了级数的增长速度被限制在$p$的幂次范围内，从而使得级数收敛。