一阶线性微分方程的通解公式是解决这类问题的关键。下面我将详细解释如何推导和运用这个公式，并给出一个具体的例子来说明其应用。
一阶线性微分方程的通解公式
假设我们有一个一阶线性微分方程：
\[ a \frac{dx}{dt} + b x = g(t) \]
其中 \(a, b, g(t)\) 是已知常数，\(x(t)\) 是未知函数。
步骤1: 分离变量
我们将方程中的变量分离开来，以便于求解：
\[ \frac{dx}{dt} = \frac{g(t)}{a – b} \]
步骤2: 积分变量
接下来，我们对上式两边进行积分：
\[ \int \frac{dx}{dt} dt = \int \frac{g(t)}{a – b} dt \]
步骤3: 计算积分
对左边积分，得到：
\[ \frac{1}{a – b} \int dt = \frac{1}{a – b} t + C_1 \]
对右边积分，得到：
\[ \frac{g(t)}{a – b} \int dt = \frac{g(t)}{a – b} t + C_2 \]
步骤4: 合并结果
将两个结果相加，得到：
\[ \frac{1}{a – b} t + \frac{g(t)}{a – b} t = \frac{1}{a – b} t + \frac{g(t)}{a – b} t + C \]
简化后得到：
\[ \frac{1}{a – b} t + \frac{g(t)}{a – b} t = \frac{1}{a – b} t + \frac{g(t)}{a – b} t + C \]
步骤5: 整理表达式
最终，我们得到：
\[ \frac{1}{a – b} t + \frac{g(t)}{a – b} t = \frac{1}{a – b} t + \frac{g(t)}{a – b} t + C \]
步骤6: 解出 \(x\)
从上式中解出 \(x\)：
\[ x = \frac{1}{a – b} t + \frac{g(t)}{a – b} t + C \]
这就是一阶线性微分方程的通解公式。
例子
假设我们有一个简单的一阶线性微分方程：
\[ \frac{dx}{dt} = 2x \]
步骤1: 分离变量
\[ \frac{dx}{dt} = 2x \]
步骤2: 积分变量
\[ \int \frac{dx}{dt} dt = \int 2x dt \]
步骤3: 计算积分
\[ \frac{1}{2} \int dt = t + C_1 \]
步骤4: 代入原方程
\[ x = \frac{1}{2} t + C_1 \]
步骤5: 整理表达式
最终得到：
\[ x = \frac{1}{2} t + C_1 \]
这就是一阶线性微分方程的通解公式的应用示例。通过这个公式，我们可以快速地解决许多类似的一阶线性微分方程问题。