1. 幂函数的导数：
如果有一个形如 \( f(x) = x^n \) 的函数，其中 \( n \) 是一个实数，那么它的导数是 \( n \cdot x^{n-1} \)。
推导过程如下：
– 设 \( u = x^n \)，则 \( du = nx^{n-1}dx \)。
– 对两边积分，得到 \( \int du = \int nx^{n-1}dx \)。
– 由于 \( x^n \) 可以写成 \( (e^{\ln x})^{n} \)，所以有 \( \int x^n dx = e^{\ln x} \cdot n \cdot x^{n-1} + C \)，其中 \( C \) 是积分常数。
– 将 \( x^n \) 替换回原变量，得到 \( f(x) = x^n \) 的导数为 \( n \cdot x^{n-1} \)。
2. 指数函数的导数：
如果有一个形如 \( g(x) = e^x \) 的函数，那么它的导数是 \( e^x \)。
推导过程如下：
– 设 \( u = e^x \)，则 \( du = e^x dx \)。
– 对两边积分，得到 \( \int du = \int e^x dx \)。
– 由于 \( e^x \) 可以写成 \( (e^{\ln x})^{1} \)，所以有 \( \int e^x dx = e^{\ln x} + C \)，其中 \( C \) 是积分常数。
– 将 \( e^x \) 替换回原变量，得到 \( g(x) = e^x \) 的导数为 \( e^x \)。
3. 对数函数的导数：
如果有一个形如 \( h(x) = \ln(x) \) 的函数，那么它的导数是 \( \frac{1}{x} \)。
推导过程如下：
– 设 \( u = \ln(x) \)，则 \( du = \frac{1}{x} dx \)。
– 对两边积分，得到 \( \int du = \int \frac{1}{x} dx \)。
– 由于 \( \ln(x) \) 可以写成 \( (\ln x)^{1} \)，所以有 \( \int \ln(x) dx = \ln x + C \)，其中 \( C \) 是积分常数。
– 将 \( \ln(x) \) 替换回原变量，得到 \( h(x) = \ln(x) \) 的导数为 \( \frac{1}{x} \)。
4. 三角函数的导数：
如果有一个形如 \( k(x) = \sin(x) \) 的函数，那么它的导数是 \( k(x) = \cos(x) \)。
推导过程如下：
– 设 \( u = \sin(x) \)，则 \( du = \cos(x) dx \)。
– 对两边积分，得到 \( \int du = \int \cos(x) dx \)。
– 由于 \( \sin(x) \) 可以写成 \( (\sin x)^{1} \)，所以有 \( \int \sin(x) dx = \sin x + C \)，其中 \( C \) 是积分常数。
– 将 \( \sin(x) \) 替换回原变量，得到 \( k(x) = \sin(x) \) 的导数为 \( k(x) = \cos(x) \)。
5. 双曲函数的导数：
如果有一个形如 \( l(x) = \tan(x) \) 的函数，那么它的导数是 \( l(x) = \sec^2(x) \)。
推导过程如下：
– 设 \( u = \tan(x) \)，则 \( du = \sec^2(x) dx \)。
– 对两边积分，得到 \( \int du = \int \sec^2(x) dx \)。
– 由于 \( \tan(x) = (\sec^2(x))^{1/2} \)，所以有 \( \int \tan(x) dx = (\sec^2(x))^{1/2} + C \)，其中 \( C \) 是积分常数。
– 将 \( \tan(x) \) 替换回原变量，得到 \( l(x) = \tan(x) \) 的导数为 \( l(x) = (\sec^2(x))^{1/2} \)。
以上是一些基本的分式求导公式及其推导过程。掌握这些技巧后，你可以更加轻松地处理各种类型的分式求导问题。