在深入探究函数的过程中，我们常常会面对一些结构复杂的函数形式，为了更便捷地分析其性质并进行相关计算，我们可以借助泰勒公式对函数进行展开处理，将其转化为多项式形式，从而简化问题的研究。
具体来说，我们将表达式形如：
的公式定义为函数 带有皮亚诺余项的n阶泰勒展开式。
接下来，我们将对该公式的正确性进行严格的证明。
在正式进入证明环节之前，我们需要先了解两个重要的引理。
引理一：假设函数 在点a的邻域内具有n阶导数，那么如果存在一个常数k，使得当 接近于0时，满足
那么我们可以得出结论： 是 的高阶无穷小量。
证明：为了验证这一点，我们需要证明 是 的高阶无穷小，即证明当 趋近于0时， 与 的比值趋近于0。
因此，我们考虑极限
由于此时分子和分母都趋向于0，符合洛必达法则的应用条件，我们可以连续使用洛必达法则进行化简：
经过多次求导后，我们可以得出结论： 是 的高阶无穷小，从而完成了引理一的证明。
引理二：设两个函数分别记作 和 ，并且它们满足以下条件：
其中 ，那么我们可以得出结论：
证明：我们可以构造一个新的函数 ，此时可以发现 满足引理一的条件，而将其代入引理一中即可证明引理二的结论。
基于上述两个引理，我们现在来证明泰勒公式的正确性。
假设我们需要展开的函数为
我们考虑一个多项式：
我们希望将这个多项式与待展开函数满足引理二中的关系，即：
其中
我们对 求导可以发现
为了构造出引理二中的形式，我们使 其中
由此得到
通过这个等式得到 ，这样选择 可以使得 和 满足引理二中的条件。
那么此时的 可以写成：
那么由引理二可知：
由此我们证明了对于任意函数 ，带有皮亚诺余项的n阶泰勒公式是成立的。