点估计方法旨在为总体参数提供一个确切的数值，然而这种估计方式并未反映估计值的精确度，因此我们引入置信区间来评估样本统计量的可靠性。
以全国人民平均身高的估计为例，通过点估计方法计算得出的结果可能是169cm，但实际情况中，真实的平均身高或许在169.5cm或168.5cm之间。为了更准确地反映这一参数，我们需要借助区间估计来确定一个包含未知参数的数值范围。
在区间估计中，我们通常以1-α的概率确保置信区间能够覆盖总体未知参数，其中1-α被称为置信水平，而α则代表显著性水平。区间估计的核心任务便是确定这一置信区间。
关于置信区间，存在两种主要的解释方式：概率解释和实践解释。
从概率解释的角度来看，如果我们进行多次重复抽样，并为每次抽样构建一个置信区间，那么在这些区间中，大约有95%的区间将能够覆盖到总体的实际均值。换言之，如果我们重复抽样1000次并构建1000个置信区间，预计其中约950个区间将包含总体均值。
然而，在实际操作中，进行1000次重复抽样的工作量相当庞大，因此我们对此概率解释进行了简化，认为有95%的置信度相信当前构建的置信区间能够覆盖总体均值。
置信区间的一般计算公式如下：
在这个公式中，置信因子是基于点估计的分布假设以及置信水平1-α计算得出的数值。
在进行区间估计时，我们通常假设总体服从正态分布，或者根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值近似服从正态分布。这两种情况在实际应用中较为常见，因此我们主要讨论如何求正态分布总体均值μ的置信区间。
在计算置信区间时，需要根据总体方差σ^2是否已知来分两种情况讨论。
当总体方差σ^2已知时，μ的置信区间计算公式为：
前面提到过，Z分布即标准正态分布，其均值为0，方差为1。
Z_(α/2)代表的是标准正态分布右侧尾部剩余概率为α/2的关键值。
例如，Z_(0.025)意味着数据落在右侧尾部的概率为2.5%。通过查阅标准正态分布表，我们可以得到Z_(0.025)的值约为1.96，即对于标准正态分布而言，大约有2.5%的数据会大于1.96。
对于标准正态分布来说，这意味着从均值0向右移动1.96个标准差，数据落在右侧尾部的概率为2.5%。类似地，对于非标准的正态分布，我们从样本均值μ向右移动1.96倍的标准误，数据落在右侧尾部的概率仍然是2.5%。
假设总体服从正态分布，总体方差为400，我们从总体中抽取100个样本数据，计算出的样本均值为15，求置信水平为95%的总体均值的置信区间。
由于置信水平为95%，且正态分布左右对称，因此左右尾部的概率均为2.5%，这样均值周围的概率才能达到95%。对应的Z_(0.025)值为1.96，标准误计算如下：
样本均值为15，因此置信区间为15±1.96×2，计算结果为（11.08,18.92）。
当总体方差σ^2未知时，如果样本量较大，或者样本量虽小但总体服从或近似服从正态分布，我们可以使用t分布来计算置信因子，并采用样本方差代替总体方差。
此时，μ的置信区间计算公式为：
与使用Z分布时的原理相似，只是在查表时存在一些差异，这里不再详细赘述。
这里有一个便于记忆的顺口溜：
σ^2已知，使用Z分布
σ^2未知，采用t分布
非正态小样本，不可进行估计