“等积变换，奥妙无穷”。等积变换作为几何学中独具魅力且充满趣味的一部分，不仅在理论研究中占据重要地位，更在现实世界的生产与生活中展现出广泛的应用价值。当我们开始探索这一领域时，首先需要深入理解其核心理论基础——等积移动定理：“在保持底边不变的情况下，若顶点沿着与底边平行的直线移动，所形成的三角形面积始终保持不变。”
等积移动定理通常被表述为：“具有相同底边的三角形，只要其顶点位于与底边平行的直线上，那么这些三角形的面积必然相等。”如图21所示。假设直线l与底边BC平行，且A₁、A₂、A₃等是直线l上的任意点，那么可以得出△A₁BC = △A₂BC = △A₃BC = …。其中，△A₁BC、△A₂BC、△A₃BC分别代表相应三角形的面积，以下所有论述均遵循此约定。
这一定理的证明过程十分简洁明了：由于平行线之间的距离在任意位置都保持一致，因此这些三角形不仅拥有相同的底边，而且高度也相等，从而可以得出它们面积相等的结论。
为了更好地理解等积移动定理的应用，我们首先通过一个典型例子来验证其有效性。
图22
例1 如图22所示，假设直线AB与CD平行，且AC与BD相交于点O，那么可以证明△AOD与△BOC的面积相等。
当看到图22时，许多初学者可能会立刻联想到著名的“蝴蝶模型”。接下来，我们将通过严谨的证明来验证这一结论。
证明过程如下：由于直线AB与CD平行，根据等积移动定理，可以得出△ABD = △АВС。进一步推导，△ABD – △AOB = △ABC – △AOB，从而得出△AOD = △BOC（等量之差相等）。证明完毕。
需要注意的是，面积作为一种量度，可以应用等量公理，例如“等量之差相等”。然而，作为几何图形，即使是全等形之间也不存在“全等形之差全等”的说法。如图23所示，尽管△ABC与△A’B’C’全等，△DEF与△D’E’F’也全等，但从△ABC中剪去△DEF后剩余的阴影部分，与从△A’B’C’中剪去△D’E’F’后剩余的阴影部分并不全等。
图23
接下来，我们将通过一个反复应用等积移动定理进行等积变换的例子来进一步加深理解。
例2 如图24所示，在平行四边形□ABCD中，作一条与对角线BD平行的直线，分别交边BC于点E，交边CD于点F。我们需要证明△ABE与△ADF的面积相等。
图24
证明过程如下：由于直线AB与CD平行，根据等积移动定理，可以得出△ADF = △BDF。同理，由于直线AD与BC平行，可以得出△ABE = △DBE。又因为直线EF与BD平行，所以△DBE = △BDF。通过等量传递，可以得出△ABE = △ADF。证明完毕。
最后，我们将利用等积变换解决一个表面上看似与面积无关的问题。
例3 如图25所示，在平行四边形□ABCD的两边AD和CD上，分别取点F和E，使得AE = CF，且AE与CF相交于点P。我们需要证明BP是∠APC的角平分线。
图25
证明过程如下：在平行四边形□ABCD中，由于直线AB与CD平行，且直线AD与BC平行，根据等积移动定理，可以得出△ABE = △ABC = ½S□AВCD，△BCF = △BCD = ½S□ABCD。由此可得△ABE = △BCF。又因为AE = CF，即△ABE与△BCF等积且等底，从而可以得出它们等高。因此，点B到直线PC和PA的距离相等，即点B位于∠APC的角平分线上，从而BP平分∠APC。证明完毕。
课堂作业
练一练
1. 在△ABC中，点P位于∠A的角平分线上，过点B作BE∥PC交AC的延长线于点E，过点C作CF∥PB交AB的延长线于点F。证明：BF = CE。
2. 在梯形ABCD中，点E和点F分别是底边AB和CD的中点。在EF上任取一点O，证明：△AOD = △BOC。
解答：
第一题： 如图，连接PE和PF。由于BE∥PC，根据等积移动定理，可以得出△ECP = △BPC。又因为CF∥PB，根据等积移动定理，可以得出△FBP = △BPC。因此，△ECP = △FBP。由于点P位于∠A的角平分线上，所以点P到直线AB和AC的距离相等，从而可以得出BF = CE（两个等积三角形的等高性导致等底）。
第二题：
如图，过点O作直线GOH∥AB。由于点E和点F分别是底边AB和CD的中点，所以点O是直线GH的中点。因此，△AOG = △GOE = △HOE = △BOH，△DOG = △FOG = △FOH = △COH。从而可以得出△AOD = △AOG + △DOG = △BOH + △СОН = △BOC。