1. 向量的定义：
– 向量是具有大小和方向的量。在二维空间中，一个向量可以表示为一个有序对（x, y），其中x和y分别是该向量在x轴和y轴上的分量。
2. 向量的加法：
– 两个向量a和b相加的结果是一个新向量c，其坐标可以通过将a和b的坐标相加得到。即：
\[ c = a + b \]
– 在二维空间中，如果a和b都是单位向量，那么它们的和也是单位向量。
3. 向量的减法：
– 两个向量a和b相减的结果是一个新向量d，其坐标可以通过将a减去b得到。即：
\[ d = a – b \]
– 如果a和b是相反的向量，那么它们的差也是一个相反的向量。
4. 向量的数乘：
– 两个向量a和b相乘的结果是一个新向量e，其坐标可以通过将a乘以b并加上常数c得到。即：
\[ e = a \cdot b + c \]
– 这里的乘法遵循分配律，即a(b) = ab。
5. 向量的标量乘法：
– 两个向量a和b相乘的结果是一个新向量f，其坐标可以通过将a乘以b并除以常数c得到。即：
\[ f = \frac{a \cdot b}{c} \]
– 这里的乘法不遵循分配律，而是简单地将a和b相乘然后除以c。
6. 向量的点积：
– 两个向量a和b的点积是一个标量，表示它们之间的夹角余弦值。即：
\[ \cos\theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|} \]
– 这个公式可以用来计算两个向量之间的夹角，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模。
7. 向量的叉积：
– 两个向量a和b的叉积是一个垂直于这两个向量所在平面的向量。即：
\[ \mathbf{n} = a \times b \]
– 这个叉积向量的方向垂直于原来两个向量所在的平面，并且与原来两个向量的夹角等于90度。
8. 向量的混合积：
– 两个向量a和b的混合积是一个平行于原来两个向量所在平面的向量。即：
\[ \mathbf{u} = a \times (-\mathbf{v}) \]
– 这个混合积向量的方向平行于原来两个向量所在的平面，并且与原来两个向量的夹角等于180度。
9. 向量的模长：
– 向量的长度（或模）是它的长度，通常用符号|\mathbf{a}|表示。
10. 坐标计算方法：
– 如果你有一个具体的向量问题，你需要先确定这个向量的坐标。例如，如果你有一个向量（3, 4），那么你可以说这个向量在x轴上是3，在y轴上是4。
– 然后，你可以使用上述的向量运算规则来计算其他向量。
通过学习和练习这些基本概念，你将能够轻松地解决各种数学问题，包括几何、代数和三角学等领域的问题。记住，理解每个概念背后的原理是非常重要的，这样你就可以灵活地应用这些公式来解决新的问题。