向量叉乘（也称为向量积或外积）是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量的相对方向和大小。在三维空间中，向量叉乘的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角余弦值。
向量叉乘的计算公式
设有两个非零向量 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) 和 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \)，它们的向量叉乘 \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \) 可以通过以下步骤计算：
1. 计算两向量的点积：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
\]
这是两个向量对应分量的乘积之和。
2. 计算两向量的模长：
\[
\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}, \quad \|\mathbf{b}\| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}
\]
这里，\(\|\cdot\|\) 表示向量的模长。
3. 使用点积公式求叉乘：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left(a_1b_2 – a_2b_1, a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3\right)
\]
这个结果是一个向量，其每个分量是原向量相应分量的差。
4. 计算叉乘的模长：
\[
\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \sqrt{\left(a_1b_2 – a_2b_1\right)^2 + \left(a_2b_3 – a_3b_2\right)^2 + \left(a_3b_1 – a_1b_3\right)^2}
\]
这是叉乘向量的模长。
5. 计算叉乘的余弦值：
\[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}
\]
其中 \(\theta\) 是两个向量之间的角度。
示例
假设我们有两个向量 \(\mathbf{a} = (1, 0, 0)\) 和 \(\mathbf{b} = (0, 1, 0)\)，我们可以按照上述步骤计算它们的叉乘：
1. 计算点积：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0
\]
2. 计算模长：
\[
\|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1, \quad \|\mathbf{b}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1
\]
3. 计算叉乘：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-1, 0, 0) – (0, 1, 0) = (-1, -1, 0)
\]
4. 计算模长：
\[
\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}
\]
5. 计算余弦值：
\[
\cos(\theta) = \frac{-1}{1} = -1
\]
向量 \(\mathbf{a} = (1, 0, 0)\) 和 \(\mathbf{b} = (0, 1, 0)\) 的叉乘结果是 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-1, -1, 0)\)，且它们的夹角 \(\theta\) 为 \(\pi / 2\)（即90度）。