向量积（又称叉积）是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量之间的垂直关系。在三维空间中，两个向量的向量积可以表示为这两个向量构成的平行四边形的面积。
定义和性质
设 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) 和 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \) 是两个三维向量。它们的向量积记为：
\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \]
其中，\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别是单位向量。
计算步骤
1. 确定向量积的行列式：
使用行列式展开法则，计算行列式：
\[
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
\]
展开后得到：
\[
\mathbf{i}(a_2b_3 – a_3b_2) – \mathbf{j}(a_1b_3 – a_3b_1) + \mathbf{k}(a_1b_2 – a_2b_1)
\]
2. 简化结果：
根据向量积的性质，有：
\[
a_1b_2 – a_2b_1 = a_2b_1 – a_1b_2 = 0
\]
最终结果简化为：
\[
\mathbf{i}(a_2b_3 – a_3b_2) – \mathbf{j}(a_1b_3 – a_3b_1) + \mathbf{k}(a_1b_2 – a_2b_1) = 0
\]
应用举例
假设我们有两个向量 \(\mathbf{a} = (1, 0, 0)\) 和 \(\mathbf{b} = (0, 1, 0)\)，则它们的向量积为：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(0 \cdot 0 – 0 \cdot 1) – \mathbf{j}(0 \cdot 0 – 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 – 0 \cdot 0)
= \mathbf{i}(-1) – \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(0) = \mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
这个结果告诉我们，向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的向量积等于一个与 \(\mathbf{i}\) 和 \(\mathbf{j}\) 垂直的向量。
掌握向量积公式是解决空间几何问题的关键。通过上述步骤，我们可以快速计算出两个向量的向量积，从而解决许多复杂的空间几何问题。