要快速求出两个向量之间的夹角大小，可以使用以下数学技巧：
1. 定义向量：设两个向量为 $\vec{a} = (a_1, a_2)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2)$。
2. 计算点积：向量的点积定义为 $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$。
3. 使用行列式：如果向量是二维的（即长度为1），则可以直接使用行列式来计算夹角的余弦值。对于两个单位向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的夹角 $\theta$ 可以通过以下公式计算：
$$
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
$$
其中 $|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别是向量的模长。
4. 使用向量的点积：如果向量是三维或更高维度的，可以使用向量的点积来简化计算。例如，对于三维向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的夹角 $\theta$ 可以通过以下公式计算：
$$
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
$$
这里使用了点积的定义，并且将结果除以了向量的模长的平方。
5. 利用三角恒等式：对于任意两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们之间的夹角 $\theta$ 可以用以下三角恒等式表示：
$$
\cos\theta = \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}
$$
这个公式适用于任意维度的向量。
6. 使用向量的内积：对于两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的夹角 $\theta$ 也可以通过它们的内积来计算：
$$
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
$$
这里使用了内积的定义，并且将结果除以了向量的模长的乘积。
7. 使用向量的外积：对于两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的夹角 $\theta$ 也可以通过它们的外积来计算：
$$
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{a})}{|\vec{a}||\vec{b}||\vec{a}|}
$$
这里使用了向量的叉积和向量的点积。
8. 使用向量的混合积：对于两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的夹角 $\theta$ 也可以通过它们的混合积来计算：
$$
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{a})}{|\vec{a}||\vec{b}||\vec{a}|}
$$
这里使用了向量的叉积和向量的点积。
通过这些方法，你可以快速计算出两个向量之间的夹角大小。在实际应用中，选择最合适的方法取决于向量的维度和具体问题的需求。