1. 周期性：对勾函数是一个周期函数，其周期是（约等于3.14159）。这意味着无论x取什么值，(x)都会以相同的方式重复出现。例如，当x=0时，(x)=0；当x=时，(x)=1；当x=2时，(x)=-1。
2. 奇偶性：对勾函数是奇函数，意味着对于所有的x，都有(-x) = -(x)。这可以通过将x替换为-x来验证，因为tan(-x) = -tan(x)。
3. 导数与积分：对勾函数的导数是它的原函数，即 dx/dt = dx/dx = 1/(1 + x^2)。这意味着对勾函数的图像是一条通过原点的直线，斜率为1/(1+x^2)。对勾函数的不定积分是ln|x| + C（C是常数），其中C是积分常数。
4. 渐近行为：当x趋向于无穷大或无穷小时，对勾函数的行为会发生变化。当x→∞时，(x) → 1；当x→−∞时，(x) → -1。这表明对勾函数在这两个极限点附近的行为是线性的。
5. 对称性：对勾函数在其定义域内关于y轴对称，即(-x) = (x)。这是因为tan(-x) = -tan(x)，所以(-x) = -(x)。
6. 连续性与可微性：对勾函数在其定义域内是连续的，并且在该区域内处处可微。这意味着对勾函数的图像是平滑的，并且可以通过求导来找到任意点的局部切线。
这些性质使得对勾函数在许多数学问题中非常有用，特别是在解决涉及角度、距离、面积和体积的问题时。通过对勾函数的理解，学生和研究者可以更好地掌握三角学和解析几何的概念。