方法一：比较法
比较法是不等式证明中常用的方法。我们需要找到两个需要比较的数或表达式，然后证明它们之间的大小关系。这种方法的关键在于找到合适的比较对象，并证明它们之间的关系。
例如，我们可以证明对于所有的正实数x和y，都有x² + y² ≥ 2xy。我们可以将不等式左边进行变形，得到(x – y)² + 2xy，由于(x – y)²是非负的，所以(x – y)² + 2xy ≥ 2xy，即x² + y² ≥ 2xy。
方法二：综合法
综合法是从已知的事实和条件出发，逐步推导得出的方法。这种方法需要我们对已知条件进行仔细分析，并找出它们之间的关系。
例如，我们可以证明对于所有的正实数x和y，都有x² + y² ≥ xy + xy。我们可以将不等式左边进行变形，得到x² + y² – xy – xy = x² – 2xy + y² = (x – y)²，由于(x – y)²是非负的，所以(x – y)² ≥ 0，即x² + y² ≥ xy + xy。
方法三：反
反是通过否定，然后逐步推导出一个矛盾，从而证明正确的方法。这种方法需要我们对进行否定，并找出其中的矛盾。
例如，我们可以证明对于所有的正实数x和y，如果x² + y² = 1，则x + y的最大值为√2。我们可以假设x + y > √2，然后逐步推导出一个矛盾，从而证明我们的假设是错误的。
方法四：放缩法
放缩法是通过放大或缩小某些项，使得不等式更容易证明的方法。这种方法需要我们对不等式中的项进行适当的放大或缩小。
例如，我们可以证明对于所有的正实数x和y，都有x² + y² ≥ xy + (x + y)/2。我们可以将不等式左边进行变形，得到x² + y² – xy – (x + y)/2 = (x – y)²/2 + (x + y)/2 ≥ (x + y)/2，即x² + y² ≥ xy + (x + y)/2。
方法五：数学归纳法
数学归纳法是通过证明当n取第一个值时命题成立，然后假设当n取k时命题成立，证明当n取k+1时命题也成立，从而证明命题对所有的自然数n都成立的方法。这种方法需要我们对命题进行归纳。
例如，我们可以证明对于所有的正整数n，都有1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > ln n + C，其中C是一个常数。我们可以使用数学归纳法，先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
以上五种方法都是不等式证明中常用的方法，适合拔高训练。在解题过程中，我们需要根据题目的具体情况选择合适的方法，并灵活运用。