1.2截面绘制详解
本章核心学习要点
1.深入理解空间几何体截面绘制的基本技巧
2.能够准确分析并确定空间几何体截面的具体形态数学知识深度解析
多面体截面绘制技巧
一、基本概念解析
1.截面相关定义及构成要素
当某个平面与几何体产生交集时，该交集被称为该几何体的截面。此平面与几何体表面的交线称为截线，而平面与几何体棱或面的交点则称为实截点。若平面与几何体棱或面的延长线相交，则这些交点被称为虚截点。在截面中，能够明确界定的一部分平面则称为截小面。
2.截面绘制的整体思路
确定截点→连接截线→构成截面
3.截面绘制中常见的思维障碍
思维局限，忽视平面或直线的无限延伸特性
4.截面绘制的理论支撑
(1)确定平面的基本条件．
(2)若两个不重合的平面存在公共点，则这两个平面必定相交于一条经过该点的直线．
(3)若一条直线上的两点位于同一平面内，则该直线上所有点均在该平面内．
(4)当一条直线平行于某个平面时，经过该直线的平面与此平面相交，则交线必定与该直线平行．
(5)若两个平面平行，则第三个平面与它们相交时，产生的两条交线必定平行．
5.截面绘制的具体实施步骤
step.1 确定截点
方式1: 将截小面上的某条直线进行延长，使其与几何体的棱或面（包括其延长部分）相交，交点即为所需截点
方式2: 从一个已知截点出发，绘制平行于另外两个截点连线的直线，使其与几何体棱相交，确定截点位置
注1：方式1中可延长的截小面上的直线，既可位于截小面外部（详细参考例1延长操作），也可位于截小面内部（详细参考例3延长操作）；具体选择依据延长后交点的可辨识度
注2：两种截点确定方法的选择，应根据实际操作中交点标识的便利性进行判断
step.2 连接截线
将同一平面内的两个截点进行连接，形成截线
step.3 完成截面
将各截线依次连接闭合，构成完整的截面
教学感悟：掌握科学的思维方法比单纯记忆解题技巧更为重要
二、典型实例分析
1.如图所示，在正方体结构中，点A、B、C分别位于棱l、m、n上，要求绘制经过这三点的截面.
具体实施步骤：
step1.延长直线AB与棱l相交于虚截点1
step2.连接AC与虚截点1相交于实截点1
说明：由于点A及虚截点1同时位于截面上和几何体表面上，因此AC与虚截点1的连线即为截线，该截线与侧棱的交点即为实截点1；
step3.延长直线BC与棱m相交于虚截点2
step4.连接AC与虚截点2相交于实截点2
step5.依次连接A、实截点1、C、实截点2、A，构成截面.
2.点D、E、F分别位于直四棱柱的棱p、q、r上，试绘制经过这三点的截面.
具体实施步骤：
step1.延长直线DE与棱p相交于虚截点1
step2.延长直线EF与棱q相交于虚截点2
step3.连接虚截点1与虚截点2，分别与棱p、q相交于实截点2、实截点1
step4.依次连接D、实截点2、E、F、实截点1、D，构成截面.
3.试绘制经过正三棱柱底边及两底中心连线中点的截面.
具体实施步骤：
step1.延长直线AB与棱CD相交于实截点1
说明：此处选择延长，是因为延长后的交点（截点）更为明显；相比之下，延长直线AC，截点的辨识度较低.
step2.从实截点1出发，绘制平行于EF的直线，分别与棱GH、IJ相交于实截点2、实截点3；
说明：采用方式2确定截点；原因：这道题目通过方式2，截点的标识更为清晰
step3.依次连接A、实截点2、C、实截点3、A，构成截面.
4.在正方体中，选取中点G、H，绘制一个截面，使其与底面形成的夹角为θ。该截面的形状应为（ ）
.六边形或五边形
.六边形或三角形
.六边形
.四边形或三角形
情况一：当截面向前倾斜（如图4-1，点G位于AB之间）
具体实施步骤：
step1.从点G出发，绘制平行于CD的直线，分别与棱EF、IJ相交于实截点1、实截点2；（原因同例3.step2）
step2.延长直线GH与棱AB相交于虚截点1
step3.连接实截点1与虚截点1，与棱EF相交于实截点3
step4.延长直线GH与棱IJ相交于虚截点2
step5.连接实截点2与虚截点2，与棱CD相交于实截点4
step6.依次连接实截点1、实截点3、E、F、实截点4、实截点2、实截点1，构成截面六边形.
情况二：当截面向后倾斜（如图4-2，点G位于正方体外部）
具体实施步骤：
step1.连接GH与棱CD相交于实截点1；（原因同例3.step1）
step2.依次连接D、实截点3、C、实截点1、D，构成截面三角形.
综合情况一与情况二，截面的形状可能是六边形或三角形，因此正确选项为.
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