各位朋友，我是专注于前端技术的西瓜哥。
今天我们要深入探讨平面几何算法中的一个重要内容：如何计算点到直线以及圆的最近距离点。
这种算法在实际应用中非常实用。
以图形拾取为例，特别是在处理只有轮廓线没有填充色的图形时，如果鼠标点击的位置与最近点的距离小于预设的容差值，就可以认为该图形已被选中。
此外，在图形编辑软件中，实体吸附、极轴辅助和正交约束等功能也依赖于此类算法。当鼠标指针接近某条直线时，绘图操作会自动将点吸附到该直线的最近位置上。
求解最近点的函数通常命名为 getClosestPoint（获取最近点）或 project（投影）。
在详细讲解投影算法之前，我们需要先掌握一个基础概念：线性插值。
在计算机图形学中，我们常常用两个点来定义一条线段，因为通过这两个点以及线性插值的方法，可以生成线段上所有的中间点，从而完成线段的绘制。
这可以类比于 Flash 动画中的补间动画效果。
假设我们有两个点 p0 和 p1，现在需要找到线段上比例参数为 t 的点 p。
这个点 p 位于 p0 到 p1 的方向上，且与 p0 的距离占 p0 到 p1 距离的比例为 t（即 t = 距离(p0, p) / 距离(p0, p1)），其中 t 的取值范围是 0 到 1。
因此，我们可以得到如下的计算公式：
这个公式可以从向量的角度进行理解。
向量可以表示为其单位方向向量乘以向量的模（即向量的长度）。
当我们乘以 t 时，相当于先将 p0 到 p1 的向量除以 距离(p0, p1) 得到一个单位方向向量，然后再乘以 距离(p0, p)，这样就得到了从 p0 到 p 的向量，这个向量实际上就是偏移量，将这个偏移量加到 p0 上，就可以得到插值点 p。
线性插值在数学和计算机图形学领域有着广泛的应用，例如贝塞尔曲线，线性贝塞尔曲线就是基于线性插值构建的，此外，我们后面要讲的最近点算法也大量使用了线性插值的思想。
如果我们将多个线段依次连接，并在连接过程中不断进行线性插值，然后将生成的点继续连接，并再次进行插值，如此循环，直到点的数量减少到一个，这样就可以构建出 N 阶贝塞尔曲线，如下图所示：
在上面的讨论中，我们限制了 t 的取值范围在 0 到 1 之间，这是因为我们只考虑了在两点之间的插值情况。实际上，t 可以取任意值（包括负值）。
当然，在平面几何中，t 取任意值会导致点位于线段之外，但它仍然满足点位于直线上的特性，如下图所示：
现在，我们来解决如何找到直线上距离点 p 最近的点的问题。
这个问题可以通过线性插值来解决，关键在于计算 t 的值。
t 代表的是 p0 到最近点的距离占 p0 到 p1 距离的比例。
由于 p0 到最近点的距离是未知的，我们可以利用点积公式来计算 p0 到 p 向量在 p0 到 p1 向量上的投影长度。
点积公式如下：
|A| 表示向量 A 的长度，可以通过勾股定理来计算：
A·B 表示两个向量的 x 和 y 坐标分别相乘后求和。
|A| cos(θ) 表示向量 A 在向量 B 上的投影长度，即：
根据前面的讨论，我们知道 t 等于 p0 到最近点的距离除以 p0 到 p1 的距离。因此，t 的计算公式为：
需要注意的是，投影是有方向的，因此 t 可能是负值。
此外，当直线两端的点重合时，问题会退化为一个点。只有两个不同的点才能唯一确定一条直线。
函数的返回值除了最近点的坐标外，还会额外返回 t 值和最短距离 d。
返回 t 值是因为有时我们需要保存这个比例值，或者将其用于更复杂的算法计算。
最短距离 d 可以不返回，如果需要的话，可以在外部重新计算。d 值可以用于实现高精度的拾取算法，当 d 小于某个阈值时，可以认为线段被选中。
我制作了一个可视化交互演示。
演示地址为：
https://codepen.io/F-star/pen/RwdzMwz
计算圆上最近点的原理与直线类似，同样需要计算 t。
对于圆，t 的计算公式为 radius / distance(center, p)。
这里需要注意，除数不能为 0，如果 distance(center, p) 为 0，则 t 应直接设置为 0。
在圆的情况下，t 不会是负数，因为是从圆心向外辐射，无法取负值。
演示地址为：
https://codepen.io/F-star/pen/PoLreNJ
今天我们学习了如何计算点到直线和圆的最近点，不知道大家是否已经掌握。
此外，还有其他图形的最近点计算问题，例如圆弧（有两种表示方式），只需要再增加一个判断点是否在圆弧上的逻辑即可。此外还有贝塞尔曲线等，我们将在后续文章中继续探讨。
这里推荐两个计算复杂曲线最近点的库。
Bezier.js 用于计算贝塞尔曲线的最近点：https://pomax.github.io/bezierjs/#project
verb-nurbs-web 库中的 NurbsCurve 功能可以计算样条曲线的最近点：http://verbnurbs.com/docs/geom/NurbsCurve/#closestpoint
我是前端西瓜哥，关注我，一起探索更多平面几何的奥秘。