大家好，我是您的学习伙伴，今天我们将一同探索计算机图形学中一个非常重要的主题——平面几何算法。
我们会学习如何计算点到直线和圆的最近点，这是一个非常实用的技术，尤其在图形拾取和交互操作中。例如，在精细的图形操作中，如果光标点到某图形的距离小于某个阈值，那么我们就认为该图形被选中了。
当我们说到寻找最近点时，通常会用到如 “getClosestPoint”（最近点）或 “project”（投影）这样的术语。
在我们深入探讨投影算法之前，我们先来学习一个前置知识点：线性插值。
线性插值是计算机图形学和数学中的基本概念。我们只需要两个点就可以表示一段线段，因为通过不断插值的方式，我们可以得到所有中间点的位置，从而绘制出线段。就像你在Flash动画中看到的补间动画一样，两个关键帧之间的过渡就是通过插值来实现的。
假设我们有两个点p0和p1，我们想要找到线段p0p1上的一个点p。这个点p在p0到p1的方向上，其位置由一个名为t的比例值确定（t等于点p到p0的距离除以p0到p1的距离），t的值范围在0到1之间。
这个插值过程可以从向量的角度来理解。向量等于其对应的单位方向向量乘以向量的模（即向量的长度）。当我们想要找到点p时，我们可以先计算p0到p1的单位方向向量，然后乘以从p0到目标点的距离，得到的结果就是从p0到目标点的向量，我们把这个向量加上点p0的坐标就得到了插值点p。
线性插值在数学和计算机图形学领域有着广泛的应用，比如贝塞尔曲线。而在本文后续的内容中，我们还会探讨最近点算法的实现。
当我们有多个线段并依次进行插值时，我们可以生成更高阶的贝塞尔曲线。通过不断重复这个过程，我们可以得到N阶贝塞尔曲线。
在之前的讨论中，我们限制了t的范围在0到1之间。但实际上，t可以是任意值，包括负数。虽然这可能在两点之间的线段补全上不适用，但在更广泛的直线上的应用中，t的负值仍然是有意义的。
现在让我们回到求最近点的主题上。已知直线上的两点p0、p1，我们需要找到距离某个点p最近的点。这可以通过线性插值来实现，我们需要计算出t的值。t是什么呢？它是p0到最近点的距离除以p0到p1的距离。
为了计算t的值，我们可以使用点积公式来求p0到p向量的投影在p0到p1向量上的长度。点积公式是两个向量的x和y分量分别相乘然后相加。而投影的长度则是向量长度与夹角余弦值的乘积。我们可以根据这个长度和已知的距离来计算出t的值。
值得注意的是，投影是有方向的，所以t可能是负值。当我们处理直线两端的点相同时的情况时，这将会退化为一个点。只有当两个不同点存在时，我们才能确定一条唯一的直线。
在求最近点的过程中，除了返回最近点的坐标外，我们还可能返回t值和最短距离d。t值有时用于保存比例信息或用于后续的复杂算法运算。而最短距离d虽然可以返回，但在很多情况下我们可能在外面需要时再计算它，用于实现高精度的拾取算法。
我已经为大家准备了相关的可视化交互demo。你可以通过以下链接查看和体验：
求直线与点的最近点：[codepen.io/F-star/pen/RwdzMwz](codepen.io/F-star/pen/RwdzMwz)
求圆与点的最近点：[codepen.io/F-star/pen/PoLreNJ](codepen.io/F-star/pen/PoLreNJ)
今天的内容就到这里，希望大家能够掌握求点到直线和圆的最近点的技巧。除了这些基础内容外，可能还有其他的图形如圆弧（有多种表示方式）的最近点问题，我们只需加多一个判断点是否在圆弧上的逻辑即可。还有贝塞尔曲线等更复杂的主题，我们将在后续的文章中进一步探讨。