一个被忽视的强大解题策略
问题呈现：在直角三角形中，其中一个锐角为β，其面积为12，(1)求该三角形外接圆的面积；
(2)当β取何值时，外接圆的面积达到最小值？
要解决这一问题，我们需要运用三角函数的相关公式。正弦和角公式的证明方法多种多样，在深入探讨解题步骤前，我们先介绍一种简洁明了的证明方法。这一证明方法源自张景中先生的数学科普著作。
将任意形状的三角形沿底边上的高进行分割，即可得到两个直角三角形。通过阅读张景中先生的作品，我们了解到，从三角形面积等于两个直角三角形面积之和这一基本事实出发，可以推导出重要的正弦和角公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
如图所示，在三角形ABC中，角A可能是锐角、直角或钝角，而角α和角β均为锐角。BC为底边，D为垂足。AB=c，AC=b，AD=h。
利用三角形正弦面积公式，我们可以建立面积方程：
通过去分母，并将方程两边乘以2，得到
bcsin(α+β)=chsinα+bhsinβ
接着，用bc除以方程两边，得到
根据正弦函数的定义，我们可以得出
由于sin B=sin(90°-α)=h:c，且sin C=sin(90°-β)=h:b，因此有
sin(α+β)=sinα·sin(90°-β)+sin(90°-α)·sinβ
又因为sin(90°-α)=cosα，sin(90°-β)=cosβ，所以
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
课本中关于正弦两角和与差公式的表述：
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
记忆技巧：
异名积，符号同
口诀：sccs（函数名）
这种简洁的证明方法充分展示了面积法的威力，令人印象深刻。
基于正弦和角公式，我们可以轻松推导出二倍角公式：
sin 2α
=sin(α+α)
=sin α∙cos α+cos α∙sin α
=2sin α∙cosα
准备工作已经完成，现在我们可以进入解题环节。
请大家思考如何解答以下问题：
直角三角形中的一个锐角为β，面积是12，(1)求此三角形的外接圆的面积；
(2)当β取何值时，外接圆的面积为最小？
接下来的几张图片中将揭晓答案。
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废话少说，现在开始解题：
如图所示，设直角三角形的斜边为2r，则AC=2rsinβ，BC=2rcosβ，因此
½(2r· cos β·2rsinβ)=12
∴r²sin2β=12
即
若⊙O为其外接圆，则其半径为r。
(1)外接圆面积
(2)当sin2β取最大值1，即2β=½π，β=¼π时，外接圆面积最小。
完成题目后，我们再次回顾，有了新的领悟。本题的第二问问的是当β取何值时，外接圆的面积为最小？由于斜边是直角三角形外接圆的直径，所以这相当于在询问一个直角三角形的面积为常数时，锐角β取何值能使斜边最短？
请参考下图：
比较两个直角三角形（直径所对的圆周角均为直角），它们的斜边相等，但高不相等，因此面积也不相等。若要使直角三角形ABC的两个锐角角度保持不变，同时增加面积至与直角三角形ABD相等，就必须延长斜边。因此，我们可以直观地得出一个结论：在面积一定的直角三角形中，斜边最短的是等腰直角三角形。同理可证，在斜边一定的直角三角形中，等腰直角三角形的面积最大。
继续深入思考，当三角形的面积一定时，什么形状的三角形外接圆面积最小？
通过以上推理可知，当三角形面积为定值时，要让外接圆半径R取最小值，那么abc就必须取最大值。因此，等边三角形的外接圆半径最小。
换句话说，当三角形的周长一定时，等边三角形的面积最大。熟悉等周问题的读者都知道这一结论。