历史记载，古希腊伟大的数学家阿基米德成功推导出了球的体积与表面积公式。
阿基米德的研究成果被详细记录在他的两卷著作《论球与圆柱》的第一卷中。其核心观点可归纳为：球与其外切圆柱体的体积比例及表面积比例均为三分之二。
据传，阿基米德曾希望将自己的这一杰出发现刻印在自己的墓碑之上，以示永恒的荣耀。
本文将详细阐述阿基米德如何推导出球及球冠面积公式的思路，内容适合中学生阅读。
第一部分：直圆台的侧面积
在初中数学中，我们已习了圆锥的侧面积计算公式。通过观察其展开图，我们可以了解到直圆锥的侧面积与其底面半径及母线长有关。
在此基础上，我们可以进一步推导出直圆台的侧面积公式。其中直圆台的相关几何量包括上下底面圆的半径r和R以及母线长d。
具体推导过程如下：由于直圆台可看作一个大的直圆锥切除一个小的直圆锥所得，故其侧面积S等于这两个直圆锥的侧面积之差。
这一结论可由三角形的相似性以及相应几何量的关系推导得出。
第二部分：旋转体的侧面积
考虑一个圆弧围绕其直径旋转形成的球冠。我们的目标是求出这个球冠的面积S。
为达到这一目的，我们首先需探讨更一般的旋转体的侧面积问题。以特定的圆弧为例，我们通过等分圆弧并考虑其围绕直径旋转后的效果来研究旋转曲面的面积。
借助一些基本的几何关系和三角形相似性，我们可以推导出这些旋转体的侧面积公式。
引理：对于这些由圆弧旋转形成的旋转体，其侧面积可视为一系列圆台（包括圆锥和圆柱）的侧面积之和。
通过连接特定的线段并利用相似三角形序列，我们可以得到一系列的比例式和等式，从而证明上述引理。
说明：在上述过程中，AL和AM分别被称为球冠的斜边和高。
第三部分：球冠的面积具体计算
结合前述的直圆台侧面积公式及旋转体侧面积的研究，我们可以进一步推导出球冠面积的具体计算公式。
这一部分的内容将涉及到更多的几何关系和代数运算，但基本思路是利用已知的几何量通过代数运算求得球冠的面积。
阿基米德通过深入的研究和巧妙的几何构造，成功推导出了球的体积及表面积公式。他的这一成就不仅在数学史上具有重要意义，同时也为后人研究几何学提供了宝贵的思路和方法。