在我之前的探讨中，我们深入研究了圆锥曲线的起源及其分类，并列举了它们各自的标准方程。
表一：圆锥曲线的标准形式
这些方程有一个共同点，那就是它们的图形中心都位于直角坐标系的原点，并且都关于坐标轴对称，同时方程中不存在xy的乘积项。
那么，是否存在一种通用的形式能够统一表达上述圆锥曲线的方程呢？答案是肯定的。
设二元二次方程为：
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 （1）
这个方程可以作为圆锥曲线的通式，其中A，B, C, D, E, F均为实数。
（1） 式通过坐标的平移或旋转变换，可以转化为表一中的标准表达式。
讨论1：如果B=0， 那么Ax^2+ Cy^2+Dx+Ey+F=0， （2）
这个方程通过配方法可以转换成圆锥曲线的对称轴平行于x轴或y轴（特殊情况可能是直线或一点）的形式。
如果A或C中有一个为零，则曲线的形式为抛物线，例如2x^2-4xy+8y^2+12=0
经过配方后，方程变为（x-2）^2=8(y-1)，这是顶点在（2，1）焦点到准线的距离p=4的抛物线。如图1：
图一
方程式(2)通过平移可以转换成表一的标准形式。
平移的公式为： x=x’+h
y=y’+k （3）
其中（x, y）是（1）式的原坐标，(x’, y’)是平移后的新坐标。通过下图可以清晰地展示点P在新旧坐标之间的关系，其中O‘（h, k）是新坐标原点在旧坐标系中的坐标。
图2：坐标轴平移
讨论2：如果A， C同为正数或负数，B=0，则式子（1）为椭圆的表达式。
例如：9x^2 + 4y^2- 36x+ 24y+ 36=0，它经过配方可变成：
利用平移原理，可知它在新坐标是符合椭圆的标准方程, 只要设x’=x-2, y’=y+3， 即坐标平移到（2，-3）这点就满足标准形式。
图3
讨论3：如果A，C是异号，B=0，则是（1）是双曲线的方程，举例如下：
9x^2 – 162y^2 + 36x+ 32y– 124=0，将其配方可得：
根据平移公式可知h=-2, k=1, 即新坐标原点，也是双曲线的轴对称中心为（-2，1），其中长半轴a=4,短半轴（虚轴）=3，曲线如下：
图4
讨论4：如果B≠0，通过坐标轴的旋转变换可去掉xy乘积项。高中学习了坐标旋转变换的公式：
x=x’cosθ-y’sinθ
y=x’sinθ+y’cosθ （4）
该公式根据下图可自行推导。
图5：坐标轴旋转
将旋转坐标公式（4）带入（1）中推导会得出新坐标系下的方程：
A’x’^2+Bx’y’+Cy’^2+Dx’+Ey’+F=0 (5)
将（5）式与（1）式的系数对应相等，然后让B’=0, 可推出：
若A=C，则旋转π/4, 就可以消除xy乘积项。A≠C可得下面的系数转换式子：
若A≠C，利用（6）式子可得出θ角，然后按上面的算式求A’, B‘，C’，D‘，E’, F’. 但实际上利用三角变换可以不求θ角，而直接算出新系数。因为知道cot2θ的值可求得tanθ, 随后利用tanθ的结果带入上面的系数公式，请读者利用三角函数的知识自行推导。
举个例子：13x^2 − 6xy + 7y^2 − 256 = 0.
在这个等式中，A=13, B= -6√3, C= 7, D= 0, E= 0, F= -256.
cot 2θ= (A-C)/(B) = (-6√3) 可得θ=π/3, 带入旋转坐标转换的公式中可得：
A’=4， B’=0, C’=16, D’=0, E’=0, F’=F. 由此可得方程：
其曲线图形如下：
图6
思考一下，xy=1怎样通过坐标转化，最后会得到什么圆锥曲线？
最后讨论Ax^2+Bxy+ Cy^2+Dx+Ey+F=0系数满足什么条件会是椭圆，双曲线或抛物线。
令判别式Δ=B^2-4AC， 当Δ=0时为抛物线（特殊形式为两平行直线）
当Δ＜0时为椭圆（特殊形式为点）
当Δ＞0时为双曲线（特殊形式是两相交直线）
这个判别式的记忆可参照离心率e,只是结果由1换成0，e换成Δ。
除了特殊形式，还可以给出这样的结论：
二元二次方程的曲线是圆锥曲线，反过来圆锥曲线的方程是二元二次方程。