米勒悖论，源自1471年德国数学家米勒（Joannes miiller）向诺德尔（Christion roder）教授提出的著名几何难题。这一悖论为几何学中最大角度的求解提供了独特的视角和启示。
要深入探究米勒悖论，首先需要明确圆周角、圆内角以及圆外角之间的几何关系。
在同一个圆或等圆中，同一条弧所对应的圆周角是相等的，即∠ACB与∠ADB相等。然而，当点D不在圆周上时，无论是位于圆内还是圆外，这些角与圆周角之间的大小关系将如何变化呢？
如图所示，点A、B、C位于圆O上，而点D位于圆内。我们需要比较∠BAC与∠BDC的大小，并给出相应的证明。
首先，延长CD并使其交圆O于点F，然后连接BF，形成新的几何图形。
根据几何原理，我们有∠BDC=∠BFC+∠FBD。由于∠BFC和∠FBD都是正角，因此可以得出∠BDC＞∠BFC。又因为∠A=∠BFC，所以∠A＜∠BDC。
由此我们可以得出结论：在同一个圆内，圆内角始终大于圆周角。
接下来，考虑另一种情况，即点D位于圆外。如图所示，点A、B、C仍然位于圆O上，而CD和BD分别交圆O于点E和F。我们需要比较∠BAC与∠BDC的大小，并给出相应的证明。
设CD交圆O于点E，然后连接BE，形成新的几何图形。
根据几何原理，我们有∠BEC=∠BDC+∠DBE。由于∠BDC和∠DBE都是正角，因此可以得出∠BEC＞∠BDC。又因为∠A=∠BEC，所以∠A＞∠BDC。
由此我们可以得出结论：在同一个圆外，圆外角始终小于圆周角。
通过以上两种情况的比较，我们可以发现，当圆与某条直线相切时，角度达到最大值。为了解决这类问题，我们可以构造一个隐形圆，该圆满足以下特征：（1）经过点A和B；（2）与直线相切。也就是说，AB是隐形圆的一条弦，而圆心位于AB的垂直平分线上。
以下是一个具体的例题，以展示如何应用米勒悖论解决实际问题：
例题：（2019·烟台）如图所示，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝6/x（x＞0）经过点D，连接MD，BD。
（1）求抛物线的表达式；
（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；
（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）
分析：（1）根据题意，点D与点C的纵坐标相同，且点D位于反比例函数的图像上。由此可以求出点D的坐标，然后将点D和点A代入抛物线的解析式，即可求出抛物线的表达式。
（2）这是一个几何最值问题，属于两定两动类型。我们可以作M关于y轴的对称点M’，作D关于x轴的对称点D’，然后连接M’D’并使其与x轴、y轴分别交于点N和F。这样，以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小，即为M’D’+MD的长度。
（3）这是一个最大角问题，可以通过构造隐形圆来解决。
思路一：三角函数法
思路二：构造隐形圆
思路三：切割线定理
这类题目如果第一次遇到，可能会感到无从下手，难度较大。但通过深入理解和应用米勒悖论，我们可以找到解决问题的关键。