初次接触自然对数的底数 e 时，我就觉得它有些不可思议。e≈2.71828…，这个无理数为何会约等于 2.71828…，这其中蕴含着怎样的深刻原理？e 的独特魅力，现在就让我们一起来探讨一下……
e 的奇妙之处可以从复利的计算方法中窥见一斑。复利是一种特殊的利息计算方式，即将上一期末的本金与利息合并，作为下一期的本金继续计算利息。例如，假设某银行的年利率为 50%（尽管现实中几乎不存在这样的银行），若存入 100 元，一年后的本利和将增至 150 元；若按复利计算两年后的本利和，结果将是 225 元。现在我们假设有一家银行的年利率高达 100%（这种银行在现实中同样不存在），我们存入 1 元钱，一年后的本利和将变为 2 元。我们知道，在年利率 100% 的情况下，存一年本利和是本金的 2 倍，因此存半年后的本利和将是本金的 √2 倍。因此，如果银行每半年支付一次利息，并且我们将利息立即再存入，那么一年后的本利和将是 (√2)^2 = 2 元。同理，若银行每四个月支付一次利息，利息也会产生利息，年底的本利和将是 (√(2/3))^4 ≈ 2.44 元。
一年有 365 天，如果银行每天支付一次利息，那么利滚利的余额将接近 2.71456748202 元。假设银行更加激进，每秒支付一次利息，并且你也同样每秒再存入，一年共有 31536000 秒，利滚利的余额将约为 2.7182817813 元。由此可见，在年利率 100% 的情况下，无论利息支付多么频繁，本利和都有一个无法突破的上限，这个上限就是 e≈2.71828…。用极限的语言来描述就是：
因此，即使我们非常努力地计算，也无法通过频繁的复利来超过这个上限。
我们将自然增长率的极限称为 e，即在年利率 100% 的情况下，存钱的最高本利和就是本金的 e（约为 2.71828…）倍。
那么，自然对数的概念又是如何产生的呢？
我们可以通过一个虚构的故事来理解：有一位富豪打算去银行存款，例如存入 10 万元。银行经理向他推荐了一种高收益的投资理财产品，并解释说这种产品采用指数运算方法……，银行经理滔滔不绝地讲了一通。但这位富豪的数学水平只有小学程度，听得有些不耐烦，于是他问投资多长时间能获得一成收益，两成收益，还是翻倍的收益？经理有些困惑，因为一般人都习惯于询问每年的收益情况，例如第一年、第二年、第三年的收益分别是多少，而这位富豪却反其道而行之，询问在获得一定收益时需要多长时间。这位富豪不愧是商业精英，只关注结果而不关心过程！于是经理从第一年开始计算，将 10 年内每年的收益都列出来，形成一个收益列表，然后找出最接近一成、两成以及翻倍的年份，并指给富豪看。富豪一看，发现第四年、第七年和第十年大致超过了预期收益，非常满意。经理通过这张表查找收益，并找出最接近的年份，这个过程实际上就是指数运算的逆运算，也就是最简单的对数运算。这张表就是对数表的一种简化形式。
为了更好地理解对数的概念，我们再来看看《人教版新课标高中数学A版必修1》第二章 2.2 对数函数小节课后的阅读材料《对数的发明》：
这应该算是高中数学书中最难懂的一个课后阅读材料，没有数学分析基础的高一学生很难理解其中的内容。这一切还要从纳皮尔的经历说起。纳皮尔是一位天文学家和数学家，在计算行星轨道数据时，他被繁重的计算量所困扰。纳皮尔发明对数的初衷就是为了简化计算。为了理解对数计算的优势，我们可以通过一个案例来了解。下面的表格中有两个数列：
第 1 行是自然数，它们构成等差数列；第 2 行是 2 的倍数，它们构成等比数列。要计算第 2 行等比数列中任意两个数的乘积，例如 16×64；首先在第 1 行的等差数列中找到对应的数，16 对应 4，64 对应 6；然后做加法，4+6=10；再查找 10 对应的等比数列中的数，1024；这样得到的结果就是 16×64=1024。
纳皮尔并非一般人，他用了 20 年的时间，进行了数百万次计算，编写了用于对数运算的对数表，堪称毅力惊人的典范！这也是典型的“牺牲自己的头发，成就别人的头发”（不知他当年埋头思考是否掉了许多头发）。有趣的是，历史的进程并非按常理出牌，对数的发现居然早于指数的发明！
1614 年，纳皮尔发明了对数和对数表。
1637 年，法国数学家笛卡儿发明了指数，比纳皮尔晚了 20 多年。
1770 年，欧拉才第一个指出对数源于指数，这时对数和指数已经发现了一百多年。法国数学家和天文学家拉普拉斯（Laplace，1749-1827）说：如果一个人的寿命不是以他在世上的时间长短来衡量，而是以他一生中的工作多少来衡量，那么可以说，对数的发明等于延长了人类的寿命。恩格斯曾经将解析几何、对数及微积分并列为十七世纪数学的三个“最重要的数学方法”。
在没有计算器的年代，纳皮尔的计算究竟有多繁琐呢？为了理解纳皮尔的艰辛，我可以举一个例子，精确到十万分位，手算 lg2 的近似值：
lg2 = 0.1×lg(2^10) = 0.1×lg1024 = 0.1×(3+lg1.024) = 0.3+0.1×lg1.024 = 0.3+0.01×lg(1.024^10) = 0.3+0.01×lg1.2676506 = 0.3+0.001×lg(1.2676506^10) = 0.3+0.001×lg10.71508607 = 0.3+0.001×(1+lg1.071508607) = 0.3+0.001+0.001×lg1.071508607 = 0.3+0.001+0.0001×lg(1.071508607^10) = 0.3+0.001+0.0001×lg1.995063117 = 0.3+0.001+0.00001×lg(1.995063117^10) = 0.3+0.001+0.00001×lg999.002093 = 0.3010+0.00001×lg999.002093 ≈ 0.3010+0.00001×3 = 0.30103
这只是一个对数值的计算，要制作一套对数表，所经历的运算可想而知，令人敬佩纳皮尔的恒心和毅力！
我们再来看看前面纳皮尔用运动观点描述的对数定义（实际上是为底的对数，为了方便理解，这里修改为以 e 为底的对数定义）：
如图：若 P、Q 两点分别以相同的初速度（初速度为 1，每个单位时间内运动单位长度），在两条具有相同单位长度的数轴上运动。点 Q 沿数轴 CD（C 为原点）作匀速运动，CQ=x；点 P 沿数轴 OB（O 为原点）从 A 点开始运动，它在任何一点的速度值等于它离 O 点的距离（OP=y）。令 P 与 Q 同时分别从 A、C 出发，那么，定义 x 为 y 的对数。这里 x 实际上是 y 的自然对数（即底数为 e），当 CQ 长为 1 时，OP 长度为 e。P 点的运动特点是在每一点处以自己的运动路程为速度，即在 P 点的路程-时间（s-t）函数中，每一点的函数值为该点的变化率（速度就是路程对时间的变化率）。
函数图象上每一点的变化率（即导数值）为该点处的函数值，而且这货任意求导后还是它自己，永远以自身为变化率。
现在我们知道指数和对数互为逆运算，用 e 做底数的对数式记作 lnx，称为自然对数。其实 e 和 π 一样都是数学的内在规律，它反映了指数增长的自然属性。在数学发展史上，对数运算基于对大数运算的简化而提出，幂的乘除与指数的加减对应，幂的乘方、开方与指数的乘、除对应。感叹纳皮尔等数学前辈对后世数学的贡献，虽然对数表、对数尺现在已不再使用，但对数的思想仍具有强大的生命力！