要轻松搞定n维向量组$\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$，并使其线性表出，我们首先需要了解什么是线性表出。
线性表出意味着存在一组基（或称为生成元），使得任何向量都可以表示为这些基的线性组合。对于n维空间中的向量组，如果所有向量都可以通过这组基来线性表出，那么这个向量组就是线性表出的。
为了实现这一点，我们需要找到一组基，使得每个向量都可以表示为这组基的线性组合。这通常通过计算向量之间的内积来实现。
假设我们有一组向量$\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$，我们可以使用以下步骤来轻松搞定它们：
1. 计算向量之间的内积：对于任意两个向量$a_i$和$a_j$，它们的内积定义为$a_i \cdot a_j = \sum_{k=1}^n a_ik_ia_j$，其中$k_ia_j$是向量$a_i$的第$k$个分量与向量$a_j$的第$k$个分量的点积。
2. 选择内积最大的向量作为第一个基向量。
3. 计算剩余向量与第一个基向量的内积，选择内积最大的向量作为第二个基向量。
4. 重复步骤3，直到只剩下一个向量，它与前面所有向量的内积都为0。这个向量就是最后一个基向量。
5. 将剩下的向量按照与最后一个基向量的内积的大小进行排序，得到一个新的向量组。
6. 将新得到的向量组与最后一个基向量相乘，得到线性表出的结果。
例如，如果我们有向量组$\{(1, 0), (0, 1), (2, 3)\}$，我们可以按照上述步骤操作：
– 计算内积：$(1, 0) \cdot (0, 1) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$，$(0, 1) \cdot (2, 3) = 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 3$，$(2, 3) \cdot (1, 0) = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 2$。
– 选择内积最大的向量作为第一个基向量：$(0, 1)$。
– 计算剩余向量与第一个基向量的内积，选择内积最大的向量作为第二个基向量：$(1, 0)$。
– 重复步骤3，直到只剩下一个向量：$(2, 3)$。
– 将剩下的向量按照与最后一个基向量的内积的大小进行排序：$(1, 0), (0, 1)$。
– 得到新的向量组：$\{(0, 1), (1, 0)\}$。
– 将新得到的向量组与最后一个基向量相乘，得到线性表出的结果：$(0, 1) \cdot (2, 3) = 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 3$。
向量组$\{(1, 0), (0, 1), (2, 3)\}$可以线性表出为$\{(0, 1), (1, 0), (2, 3)\}$。