步骤1：定义三角形
我们定义一个三角形为三个点 \(A\)、\(B\)、\(C\) 在平面上形成的图形，其中 \(A\) 和 \(B\) 是固定的点，而 \(C\) 是移动的点。
步骤2：使用向量表示法
为了更直观地理解三角形的内角和，我们可以使用向量来表示三角形中的边和角。设 \(AB\) 是一条从点 \(A\) 到点 \(B\) 的向量，\(AC\) 是从点 \(A\) 到点 \(C\) 的向量，\(BC\) 是从点 \(B\) 到点 \(C\) 的向量。
步骤3：三角形的内角和公式
根据向量加法的性质，我们有：
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC} \]
这意味着，如果我们将 \(AB\)、\(AC\) 和 \(BC\) 这三个向量相加，结果就是 \(BC\) 向量。三角形的三个内角之和等于180度。
步骤4：证明三角形内角和为180度
为了证明这一点，我们需要证明以下等式：
\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]
由于 \(AB\)、\(AC\) 和 \(BC\) 是三角形的边，它们分别对应于三角形的三个顶点。每个顶点的角度都是它所对应的边与对边的夹角。
步骤5：使用余弦定理
余弦定理告诉我们，对于任意三角形 \(ABC\)，有：
\[ \cos(\angle A) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} \]
\[ \cos(\angle B) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} \]
\[ \cos(\angle C) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} \]
将这三个等式相加，我们得到：
\[ \cos(\angle A) + \cos(\angle B) + \cos(\angle C) = 1 \]
由于余弦函数的值域是 [-1, 1]，所以：
\[ \cos(\angle A) + \cos(\angle B) + \cos(\angle C) = 1 \]
\[ \cos(\angle A) + \cos(\angle B) + \cos(\angle C) = 0 \]
这意味着：
\[ \angle A + \angle B + \angle C = 90^\circ \]