探索$sqrt{19}$的开根号计算方法，我们可以使用一些数学技巧来简化这个表达式。我们知道$sqrt{19}$是一个无理数，这意味着它不能表示为两个整数的比值。我们可以通过一些近似方法来估计它的值。
一种简单的方法是使用平方根的性质。我们知道$3^2 = 9$，而$4^2 = 16$，所以$5^2 = 25$。由于$19$介于$9$和$25$之间，我们可以推断出$sqrt{19}$大约等于$5$。这个估计并不精确，因为$sqrt{19}$实际上略大于$5$。
另一种方法是使用对数。我们知道$log_b a$是$a$的$b$次方根，所以我们可以尝试找到使得$log_b sqrt{19} = frac{1}{2}$的$b$值。通过试验不同的$b$值，我们发现当$b = 3$时，$log_3 sqrt{19} = frac{1}{2}$。$sqrt{19} = 3^{frac{1}{2}}$。
现在我们已经找到了$sqrt{19}$的近似值，但为了更精确地了解它，我们可以使用泰勒展开或者直接计算其数值。泰勒展开是一种将函数在某一点的高阶导数展开成无穷级数的方法，对于$sqrt{19}$，我们可以用牛顿法进行迭代计算：
$$sqrt{19} approx 3.708 + 3.708 times (-0.0000000001) + 3.708^2 times (-0.000000000001) + ldots$$
这个级数收敛得非常快，以至于在实际应用中可以忽略高阶项。通过这种方法，我们可以得到一个非常接近$sqrt{19}$的数值，但请注意，这个数值仍然不是完全精确的。
$sqrt{19}$的开根号计算方法有很多，但最简单有效的方法是使用平方根的性质和对数。通过这些方法，我们可以快速得到一个近似值，但对于更精确的结果，可能需要使用更高级的数学工具或软件。