题目直接呈现,不再赘述
已知函数f(x)的定义域为整个实数集,且是奇函数,满足f(1—x)=f(1+x)。给定f(1)=2,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)的值。
答案解析:
由于f(x)是奇函数,我们知道f(-x)=-f(x)且f(0)=0。接着,利用给出的条件f(1—x)=f(1+x),我们可以推导出f(-x)=f(x+2)。结合奇函数的性质,我们可以得到f(x)=-f(x+2)。进一步替换,我们得到f(x)=f(x+4),说明f(x)是一个周期为4的函数。
根据已知f(1)=2,结合奇偶性我们有f(-1)=-2。再由周期性我们知道f(3)=-2。结合前面的结论和已知f(0)=0,我们可以得出f(2)=0,因为f(2)=-f(0)。
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