头条创作挑战赛
老黄此次致力于推导的公式是：“正割与正弦的整数幂乘积的不定积分公式”以及“余弦与余割的整数幂乘积的不定积分公式”。这些公式描述起来确实比较拗口，具体指的是求解形如 ∫(secx)^m(sinx)^ndx 和 ∫(cosx)^m(cscx)^ndx 的积分，其中条件是 |m-n|=2k。
这些公式是基于余弦和正弦幂积的不定积分递推公式来推导的。教材里提供的、指数递减的递推公式已用黑色字体标出，相关证明过程可以在《老黄学高数》系列学习视频的273讲中找到。而老黄本人推导的、指数递增的递推公式则用蓝色字体突出，详细推导过程在第275讲中分享。
通常，利用递推公式可以推导出最终的积分公式。但对于这两组递推公式，它们能推导出的一套积分公式，包括本次要讲解的两个积分公式。正割正弦幂积其实是余弦负指数的情形，而余弦余割幂积则是正弦负指数的情形。
之前，老黄已经推导出了部分特殊情况下的公式，其中对本次推导有帮助的是“正割乘以正弦幂的不定积分公式”和“余弦幂乘以余割的不定积分公式”。因为这两个公式可以看作是正割或余割指数为1时的特殊形式。
为了严谨起见，需要规定m和n都是大于1的正整数，并且它们不相等。当两者相差一个偶数时，推导公式的方式完全不同。这篇文章主要讲解两者相差一个偶数的情形，即使如此，也依然分为两种情况：一种是正割或余割的指数较小的情况；另一种是正弦或余弦的指数较小的情况。
我们先求正割正弦幂积的不定积分。当正弦的指数比较大时，即m
对于m>n的情况，我们需要将-m变大，因此需要使用升幂的递推公式。由于正割的指数m与余弦的指数-m有关，要使两个指数的绝对值相等，就必须将-m递增。最终得到的不定积分I(2k-m,n)前面有一个因数0，所以并不会出现正切幂的不定积分，而是得到一个含有k项的求和公式。这个公式显然比前面的公式要简洁得多。至于余弦余割幂积的不定积分公式的推导，其原理相同，老黄在此仅提供推导过程的图片供自行脑补。无论哪种情况都会结合例题进行讲解。这样便形成了两组公式。由于secxsinx=tanx以及cosxcscx=cotx，这两组公式还可以进一步推出其他相关的积分公式。这类问题都可以转化为“正割正弦幂积积分公式”和“余弦余割幂积积分公式”来解决。
有人认为我们只是在运用前人的研究成果，真正困难的是公式的推导部分。没错，公式的推导才是核心，老黄也乐在其中，因为这才能真正体会到数学的乐趣和真谛。尽管有人质疑这样的努力没有意义，但老黄依然会坚持，因为这正是他热爱数学的体现。