二阶非其次线性微分方程的通解通常需要通过特定的方法来求解，这些方法包括特征方程法、积分因子法、常数变易法等。下面我将介绍一种常用的方法——常数变易法，并给出一个具体的例子来说明如何应用这个方法。
常数变易法简介
常数变易法是一种用于求解二阶线性微分方程的方法，它基于变量替换的思想。这种方法的核心思想是将原方程中的变量通过某种方式变换为新的变量，使得新变量下的方程与原方程具有相同的形式，从而可以利用已知的解法来求解原方程。
步骤详解
1. 确定变量：你需要确定原方程中哪些变量是独立的，哪些是依赖的。例如，如果原方程是 \( y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 \)，那么 \( x \) 和 \( y \) 是独立的，而 \( p(x) \) 和 \( q(x) \) 是依赖的。
2. 构造新的变量：接下来，你需要构造一个新的变量系统，使得新变量下的方程与原方程具有相同的形式。这可以通过将原方程中的每一项都乘以一个适当的常数来实现。例如，如果 \( p(x) \) 和 \( q(x) \) 都是关于 \( x \) 的函数，你可以令 \( u = x^2 \)，这样新变量系统的方程就变成了 \( u” + p(u)u’ + q(u)u = 0 \)。
3. 解新变量下的方程：然后，你需要解新变量下的方程。这通常涉及到对新变量进行积分或者求导，然后使用相应的解法（如常数变易法）来求解。
4. 转换回原变量：你需要将解转换回原来的变量。这通常涉及到对解进行逆操作，即对每个变量分别进行积分或求导，然后乘以相应的系数。
例子
假设我们有一个二阶线性微分方程：
\[ y” + 3y’ + 2y = 0 \]
我们可以将其转换为新的变量系统：
\[ u = x^2 \]
\[ v = y \]
这样，原方程就变为了：
\[ u” + 3u’ + 2u = 0 \]
现在，我们需要解这个新变量下的方程。由于这是一个二阶线性微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。我们将 \( u \) 和 \( v \) 都乘以一个适当的常数 \( k \)，得到：
\[ k^2 u” + 3k^2 u’ + 2ku = 0 \]
\[ k^2 v” + 3k^2 v’ + 2kv = 0 \]
接下来，我们对这两个方程分别进行积分，得到：
\[ (k^2u)’ = -3k^2u \]
\[ (k^2v)’ = -3k^2v \]
然后，我们解出 \( u \) 和 \( v \)：
\[ u = \frac{-3k^2}{6} \left(e^{-3k^2t} – e^{3k^2t}\right) \]
\[ v = \frac{-3k^2}{6} \left(e^{-3k^2t} – e^{3k^2t}\right) \]
我们将 \( u \) 和 \( v \) 转换回原来的变量：
\[ x = \sqrt{u} = \sqrt{\frac{-3k^2}{6}} \left(e^{-3k^2t} – e^{3k^2t}\right) \]
\[ y = v = \frac{-3k^2}{6} \left(e^{-3k^2t} – e^{3k^2t}\right) \]
这就是原方程的通解。
通过这个例子，我们可以看到常数变易法的关键在于选择合适的变量替换，以及正确地处理新变量下的方程。掌握了这个方法，你就可以轻松地解决大多数二阶非其次线性微分方程的问题了。