一、一阶线性齐次微分方程的定义与性质
在数学领域中，形如 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的方程被归类为一阶线性微分方程。当方程中的非齐次项 Q(x) 等于零时，该方程便转化为特殊的线性齐次微分方程，即 dy/dx + P(x)y = 0。反之，若 Q(x) 不为零，则该方程被称为一阶线性非齐次微分方程。
线性齐次方程的主要特征在于y和y’均为一次项，且方程中不包含y与y’的乘积项。
例1：通过具体实例来区分线性齐次与非齐次方程
（1）(x-2)dy/dx = y → dy/dx – y/(x-2) = 0 是一个典型的线性齐次方程；
（2）x^2 + 5x – y’ = 0 → y’ = x^2 + 5x 是一个线性非齐次方程；
（3）y’ + ycosx = e^(-sinx) 是非齐次线性方程；
（4）(y+1)^2 dy/dx + x^3 = 0 → dy/dx + x^3/(y+1)^2 = 0 不是线性方程。
例2：求解线性齐次微分方程的通解
求方程 y’ – 2/(x+1)y = 0 的通解。
解：首先确认其为一阶线性齐次方程 y’ – 2/(x+1)y = 0。
通过分离变量法，得到 1/y dy = 2/(x+1) dx。
对两边进行积分，得到 ∫1/y dy = ∫2/(x+1) dx。
积分结果为 ln|y| = 2ln|x+1| + ln|C|。
化简后得到通解 y = C(x+1)^2。
例3：求解另一线性齐次微分方程的通解
求方程 y’ + p(x)y = 0 的通解。
二、常数变易法的应用
常数变易法是一种求解一阶线性非齐次微分方程的技巧。该方法将齐次方程通解中的常数 C 替换为 x 的未知函数 u(x)，并将 y = u(x)e^(-∫P(x)dx) 视为一阶线性非齐次微分方程的通解形式。代入 y’ + P(x)y = Q(x) 后，经过一系列代数运算，可以得到 u'(x) = Q(x)e^∫P(x)dx。
进一步积分得到 u(x) = ∫Q(x)e^∫P(x)dx dx + C。
因此，一阶线性非齐次微分方程的通解可以表示为 y = e^(-∫P(x)dx)[∫Q(x)e^∫P(x)dx dx + C]。
该通解表达式也可以写成 y = Ce^(-∫P(x)dx) + e^(-∫P(x)dx)∫Q(x)e^∫P(x)dx dx 的形式。
一阶线性非齐次微分方程的通解由对应的齐次方程通解和一个特解相加而成。这种将常数转换为待定函数的方法，正是常数变易法的精髓所在。
例3：通过具体例子展示常数变易法的应用
解法一 设 P(x) = -1/x，Q(x) = x^3。
根据通解公式，y = e^∫P(x)dx(∫e^∫P(x)Q(x)dx + C)。
代入具体函数，得到 y = e^∫(-1/x)dx(∫e^∫(-1/x)dx x^3dx + C)。
化简后得到 y = x(∫x^2dx + C) = x(1/3x^3 + C)。
解法二 首先求解对应的齐次方程 y’ – 1/x y = 0。
通过分离变量法，得到 1/y dy = 1/x dx。
积分后得到 ln|y| = ln|x| + ln|C|，即 y = Cx。
利用常数变易法，设原方程的通解为 y = u(x)x。
求导后得到 y’ = u'(x)x + u(x)。
代入原方程，得到 u'(x)x + u(x) – u(x) = x^3。
积分后得到 u(x) = 1/3x^3 + C1。
因此，原方程的通解为 y = (1/3x^3 + C1)x = x^4 + C1x。
例4：特殊情况的处理
注意 对于形如 dx/dy + P(y)x = Q(x) 的方程，虽然 y 是自变量，x 是 y 的函数，但该方程仍然是一阶线性微分方程。通过常数变易法，可以得到该方程的通解为 x = e^(-∫P(y)dy)[∫Q(x)e^∫P(y)dy + C]。
例5：复杂方程的求解
求微分方程 xdy – ydx = y^2e^y dy 的通解。
解：首先将方程改写为 dx/dy – 1/y x = -ye^y。
代入通解公式，得到 x = e^(-∫-1/y dy)(∫-ye^y dy + C)。
化简后得到 x = y(-e^y + C)。