滑动变阻器在何种情况下能够达到其功率的最大值，以及最大功率的具体数值，这是一个相对较为复杂的问题，许多学生在理解和计算方面常常感到困惑。今天，我们将深入探讨并系统梳理这一知识点：
如下图所示，我将滑动变阻器与其他串联部分的电路视为一个整体，该整体的总电阻记为R0。在此情境下，滑动变阻器的功率可以用代数表达式进行描述，其完整的推导过程如下：
通过上述分析可以得出，P达到最大值，实际上意味着代数式中的分数部分取得最小值，而当滑动变阻器的阻值R等于R0时，该代数式中的特定部分将等于零
实现了分母的最小化，也就意味着功率达到了最大化。因此，我们可以明确地得出结论：
当滑动变阻器的阻值与其串联部分电路的总电阻相等时，滑动变阻器能够获得最大功率，其最大功率的表达式为U²/4R。
接下来，我们通过一个具体的例题来验证这一结论：
根据电路图可知，与滑动变阻器串联的部分由两个并联的20Ω电阻以及一个5Ω电阻串联而成，计算得到该部分电路的总电阻为：R总=15Ω。因此，当滑动变阻器的阻值等于15Ω时，它将取用最大功率；
此时滑动变阻器的最大功率为：Pmax=（9V）²/（4×15Ω）=1.35W
然而，实际中的问题往往更加复杂，并非简单的计算就能解决。在处理这类问题时，通常需要结合电路安全因素对滑动变阻器阻值的限制，以及滑动变阻器功率变化的规律进行综合考量。
关于滑动变阻器功率变化的规律，我们可以定性地理解它是一条过原点且具有最大值的曲线，其大致形状如下：
在某些题目中，由于电路安全的考虑，滑动变阻器的阻值可能会受到一定的限制，例如：
在某个电路中，出于安全考虑，电路中的最大电流被限制在0.4A。因此，电路的总电阻被限制为：
R总=U/I=9V /0.4A =22.5Ω；
由此可以计算出滑动变阻器的最小阻值应为：
R=R总-R0=22.5Ω-10Ω=12.5Ω
因此，滑动变阻器的阻值范围被限定在：12.5Ω至20Ω之间。
从理论上讲，滑动变阻器的最大功率出现在其阻值为10Ω时。然而，由于阻值范围的限制，我们无法达到10Ω。在这种情况下，我们需要结合功率变化的特性进行判断。根据功率变化的曲线图可以看出，在当前的阻值范围内，滑动变阻器的最大功率出现在其阻值为12.5Ω时。
我们再来看另一个例子：
在另一个电路中，由于安全考虑，滑动变阻器分到的最大电压为3V，而此时定值电阻分得的电压为6V。在这种情况下，滑动变阻器的最大阻值应为：
R=R0/2=5Ω
电路的最小电阻为10Ω，此时的最大电流为：
I=U/R=9V/10Ω=0.9A
这样的电流值满足电路安全要求，可以确保滑动变阻器以及电流表的安全运行。
因此，滑动变阻器的阻值范围被限定在：0Ω至5Ω之间。
与之前的情况类似，虽然理论上滑动变阻器的最大功率出现在其阻值为10Ω时，但由于阻值范围的限制，我们无法达到这一理想状态。因此，我们需要再次结合功率变化的特性进行判断。根据功率变化的曲线图可以看出，在当前的阻值范围内，滑动变阻器的最大功率出现在其阻值为5Ω时。