阐述 设函数 Z = f(x,y)在点(,)某一邻域内有定义，当 y 固定在 而x在 处有增量时，相应的函数有增量 f(+ ) – f(,)，倘若此增量比的极限存在，则此极限定义为函数 f(x,y) 在点（,）处关于 x 的偏导数，记作
倘若函数 f( x , y)在区域 D 内的任意一点（ x, y ）关于 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就构成了一个关于 x、y 的函数，此时它被称为函数 z = f ( x , y ) 关于 x 的偏导函数，记作
同理，可以引出函数 Z = f ( x , y ) 关于 y 的偏导数的定义，记作
多元函数的偏导数有时也简称为偏导数
上述定义揭示，在计算多元函数对某一自变量的偏导数时，我们只需将其他自变量视为常量，然后直接运用一元函数的求导法则，即复合函数的求导方法来进行求解
求解 Z = f ( x , y ) = + 3xy + 在点（1，2）处的偏导数
解：将 y 视为常量，对 x 进行求导：( x , y ) = 2x + 3y
将 x 视为常量，对 y 进行求导：( x , y ) = 3x + 2y
将（1，2）代入，得到：
（ 1，2 ）= 2*1 + 3*2 = 8 ， （ 1，2 ）= 3*1 + 2*2 = 7
一元函数的导数在几何意义上代表平面曲线在某个点的切线斜率，那么二元函数的偏导数在几何上表示什么呢？
假设(,, f(,)) 是曲面 Z = f( x , y ) 上的一点，那么偏导数( x , y ) 就是曲面被平面 y = 所截出的曲线在点处的切线对 x 轴的斜率
偏导数( , ) 则表示曲面被平面 x = 所截出的曲线在点 处的切线对 y 轴的斜率
在一元函数的理论中，如果函数在某点可导，那么它在该点必定连续，对于多元函数，是否也存在类似的性质呢？
对于多元函数来说，即便函数的各个偏导数都存在，也不能确保函数在该点连续
证明函数
证明：=
=
= 0
=
=
= 0
由于极限不存在，f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 )不连续
高阶偏导数
设函数 f ( x , y ) 在区域 D 内具有偏导数
, ,
那么在 D 内 ,都是 x , y 的函数，
如果这两个函数的偏导数同样存在，那么它们被称为函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数
根据对变量求导顺序的不同，可以得出以下四个二阶偏导数：
= =
= =
= =
= =
其中第二、第三两个偏导数被称为混合偏导数
类似地，我们可以定义三阶、四阶…以及 n 阶偏导数，我们将二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数
例：
定理 如果函数 f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数 、在区域 D 内连续，那么在该区域内有 =
推广 高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求偏导的次序无关
高阶导数实际上也是一元函数求导的延伸
1、z = f ( x , y ) 在点(,)处的梯度
gradf( , ) = +
注：拿两个偏导数分别乘以自变量
2、u = f ( x, y, z)在点(,,)处的梯度
gradf(,,) = ++
注：i,j,k分别代表x轴、y轴、z轴上的单位向量
例 f ( x, y, z) = , 求 gradf(1, 1, 1)
解：gradf(x, y, z) = ++
= 2xi + 2yj + 2zk
gradf(1, 1, 1) = 2i + 2j + 2k
= {2, 2, 2}
铁板温度：T = 80 – — x
蚂蚁落在 M(1, 1)处的逃生方向和逃生路线？
温度增加最快的方向是梯度方向，温度减少最快的方向是梯度的反方向
M的切线的法线方向，从温度高的一侧往温度低的一侧
设逃生路线方程为 F(x, y) = 0 , 任意点处的切向量(dx, dy) 平行于gradT (两个向量平行，对应坐标成比例 )
则
4x + 1 =
代入 (1, 1)点得 C = 5
即逃生方向为 4x + 1 = (应该是一个抛物线的一部分)
到这里线性代数、微积分、概率论等知识点大致学习完毕，下一篇将开始学习python的相关知识。数学的知识点虽然大致学习完了，但是有很多内容理解得不够深入，需要在后续的学习中慢慢领会，相信通过不断的练习，会逐渐掌握并融会贯通的