近期收到了一封来自读者的邮件。信中提到，若认定1-1+1-1…等于1/2这一事实，就会推导出1+2+3+…=-1/12这样难以理解的结论。这位读者所提及的自然数求和问题，在量子理论和弦理论中都扮演着重要的角色。从真空的能量到时空的维度数量，都与自然数之和有着微妙的联系。
数学老师曾告诉我们，只有收敛的级数才能求解无穷项之和。在一些科普书籍中，我们会遇到一些神奇的求和：
所有自然数之和怎么会是负数，而且还是个分数？这究竟是人性之谜，还是物理定律的误判？
将对称轴视作级数和
要理解这个看似荒谬的结论，我们首先来看一个简单的例子：1，-1，1，-1…这个序列可以求无穷项之和吗？意大利数学家格兰迪（Dom Guido Grandi，1671-1742）早在1703年就开始认真琢磨这个问题。可以说，这是所有发散级数求和研究的起点，这个序列后来被命名为“格兰迪级数”。
或许有小伙伴猜测，这个序列中1和-1的数量既然同样多，那么总和就应该等于0。这种猜测是错误的。无穷集就像个再生能力很强的变形虫，部分与整体同样多。我们从序列中拿走任意个1或者-1后，剩下的1和-1数量仍然相同。如果所剩下的1和-1加和为零的话，那么岂不是总的求和仅由先取出的1或-1的数量决定——也就是任意整数。这显然太不靠谱了。
还有个办法就是借助收敛的级数寻找线索。在|q|<1时，我们可以考虑q的级数来推导。现在，让我们粗暴地让q=-1，于是就出现了意想不到的结果。
这个结果虽然还能令人接受，但q=-1毕竟是个“不合法”的条件，我们需要更合理的途径来安抚内心的不安。如果把这个级数的前n项和记作A(n)，我们现在就来求A(∞)。
通过一系列的数学推导和转换，我们可以发现，通过特定的数学操作和近似，自然数之和和一些发散级数的和可以被“定义”为一个特定的值。虽然这种定义方式在数学上有些牵强，但在物理学的某些领域中，这样的定义却有着重要的应用。
时空的秘密
在物理学中，尤其是量子场论和弦理论中，自然数之和与空间维度、真空能量等概念有着紧密的联系。例如，卡西米尔效应的实验就与自然数之和有着千丝万缕的联系。通过精妙的实验设计和理论推导，我们可以更深入地理解自然数之和在物理学中的应用。
关于空间是否是离散的这个问题，也与自然数之和有着重要的关联。如果我们假设空间是离散的，那么就会有一个最小的尺度，即普朗克长度。这个最小尺度会对我们的理论产生重要的影响，包括对自然数之和的理解。
结语
自然数之和的问题不仅是一个数学问题，更是一个涉及物理学、哲学等多个领域的问题。通过深入研究和探索，我们可以更深入地理解这个看似简单却深奥的数学问题。
无论是数学家、物理学家还是哲学家，都对这个问题进行了长期的探索和研究。虽然我们可能无法给出一个最终的答案，但通过对这个问题的研究，我们可以更深入地理解数学、物理学和哲学等多个领域的知识。
在未来的探索中，我们或许会发现更多的奥秘和关联。无论结果如何，这个过程都将是一个充满挑战和乐趣的旅程。