三角函数是数学中一个非常基础且重要的部分，它们在解决与角度、边长和面积相关的问题上起着关键作用。其中，余弦（cos）和正弦（sin）函数是最基本的三角函数，它们的定义如下：
– 余弦函数（cos）：对于任意角θ，余弦值定义为该角的邻边与斜边的比值，即：
\[ \cos(\theta) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} \]
– 正弦函数（sin）：对于任意角θ，正弦值定义为对边与斜边的比值，即：
\[ \sin(\theta) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} \]
这两个函数不仅定义了三角形的基本性质，还为解决各种实际问题提供了工具。例如，在物理学中，它们用于描述物体在重力作用下的运动轨迹；在工程学中，它们用于计算桥梁、建筑物等结构的受力情况；在天文学中，它们用于计算行星轨道的参数。
1. 倍角公式：
– 若$\alpha$和$\beta$是锐角，则：
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta – \sin\alpha \sin\beta \]
– 若$\alpha$和$\beta$是钝角，则：
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \]
2. 和差化积公式：
– 若$\alpha$和$\beta$是锐角，则：
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \]
– 若$\alpha$和$\beta$是钝角，则：
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta – \sin\alpha \sin\beta \]
3. 半角公式：
– 若$\alpha$是锐角，则：
\[ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 – \cos\alpha}{2}} \]
– 若$\alpha$是钝角，则：
\[ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = -\sqrt{\frac{1 – \cos\alpha}{2}} \]
4. 二倍角公式：
– 若$\alpha$和$\beta$是锐角，则：
\[ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha \]
– 若$\alpha$和$\beta$是钝角，则：
\[ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\beta \]
5. 半角公式：
– 若$\alpha$是锐角，则：
\[ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 – \cos\alpha}{2}} \]
– 若$\alpha$是钝角，则：
\[ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = -\sqrt{\frac{1 – \cos\alpha}{2}} \]
6. 二倍角公式：
– 若$\alpha$和$\beta$是锐角，则：
\[ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha \]
– 若$\alpha$和$\beta$是钝角，则：
\[ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\beta \]
这些公式不仅有助于我们理解和计算三角函数的值，还可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。例如，在求解三角形的面积时，我们可以利用正弦和余弦公式来计算不同位置的线段长度，从而得到整个三角形的面积。