1. 立方和公式（Sum of Cubes）
– 对于任意整数 $n$，其立方和公式为：
$$ S_n = n^3 + (n-1)^3 + (n-2)^3 $$
– 推导过程：
– 当 $n=1$ 时，$S_1 = 1^3 = 1$
– 当 $n=2$ 时，$S_2 = 2^3 = 8$
– 当 $n=3$ 时，$S_3 = 3^3 = 27$
– 观察上述三个值，可以发现它们构成了一个等差数列，首项 $a_1 = 1$，公差 $d = 2^3 – 1^3 = 7$。
– 根据等差数列的求和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right) $$
其中 $a_n$ 是第 $n$ 项的值，代入得：
$$ S_n = \frac{n}{2} \left( 1 + 27 \right) = \frac{n}{2} \cdot 28 = n^3 $$
– 立方和公式可以表示为：
$$ S_n = n^3 + (n-1)^3 + (n-2)^3 $$
2. 立方和公式（Sum of Cubes with Reciprocals）
– 对于任意整数 $n$，其立方和公式为：
$$ S_n = n^3 + (n-1)^3 + (n-2)^3 $$
– 推导过程与上一种类似，但需要计算每个立方的倒数之和：
– 当 $n=1$ 时，$S_1 = 1^3 + \frac{1}{1^3} = 1 + \frac{1}{1} = 2$
– 当 $n=2$ 时，$S_2 = 2^3 + \frac{1}{2^3} = 8 + \frac{1}{8} = 8.125$
– 当 $n=3$ 时，$S_3 = 3^3 + \frac{1}{3^3} = 27 + \frac{1}{27} = 27.0833…$
– 观察上述三个值，可以发现它们构成了一个等比数列，首项 $a_1 = 1$，公比 $q = \frac{1}{2}$。
– 根据等比数列的求和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right) $$
其中 $a_n$ 是第 $n$ 项的值，代入得：
$$ S_n = \frac{n}{2} \left( 1 + \frac{1}{27} \right) = \frac{n}{2} \cdot \frac{28}{27} = \frac{n}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{n}{9} $$
– 立方和公式可以表示为：
$$ S_n = n^3 + (n-1)^3 + (n-2)^3 $$
3. 立方和公式（Sum of Cubes with Squares）
– 对于任意整数 $n$，其立方和公式为：
$$ S_n = n^3 + (n-1)^3 + (n-2)^3 $$
– 推导过程与前两种类似，但需要计算每个立方的平方之和：
– 当 $n=1$ 时，$S_1 = 1^3 + (1-1)^3 + (1-2)^3 = 1 + 0 + (-1) = 0$
– 当 $n=2$ 时，$S_2 = 2^3 + (2-1)^3 + (2-2)^3 = 8 + 0 + 0 = 8$
– 当 $n=3$ 时，$S_3 = 3^3 + (3-1)^3 + (3-2)^3 = 27 + 0 + 0 = 27$
– 观察上述三个值，可以发现它们构成了一个等差数列，首项 $a_1 = 1$，公差 $d = 2^3 – 1^3 = 8$。
– 根据等差数列的求和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right) $$
其中 $a_n$ 是第 $n$ 项的值，代入得：
$$ S_n = \frac{n}{2} \left( 1 + 8 \right) = \frac{n}{2} \cdot 9 = n^2 $$
– 立方和公式可以表示为：
$$ S_n = n^3 + (n-1)^3 + (n-2)^3 $$
掌握这些公式后，你可以利用它们来解决各种涉及立方数的问题，如计算立方和、寻找特定立方数的倍数、或者在几何问题中应用立方和的性质。