一元三次方程，通常写作 ax³ + bx² + cx + d = 0，其中 a、b、c 和 d 是常数，且 a ≠ 0。这类方程的解法可以通过判别式（Δ）来分析，从而确定方程的根的性质。
判别式的计算
我们需要计算判别式 Δ，它等于二次项系数 b² – 4ac。判别式的值决定了方程有三个不同的实根、两个不同的实根或一个重根。具体来说：
– 如果 Δ > 0，方程有三个不同的实根。
– 如果 Δ = 0，方程有两个不同的实根，并且这两个根是相同的。
– 如果 Δ < 0，方程有一个重根，即一个复数根。
判别式的几何意义
在直角坐标系中，判别式的几何意义可以这样理解：
1. 当 Δ > 0：在 x 轴上画一条直线 y = -b/(2a)，这条线与 x 轴的交点就是方程的一个根。由于 Δ > 0，这个根不是唯一的，而是有多个。这些根将 x 轴分成三个部分，每部分对应一个根。
2. 当 Δ = 0：在 x 轴上画一条直线 y = -b/(2a)，这条线与 x 轴的交点就是方程的另一个根。这个根是唯一的，因为它位于 x 轴上。
3. 当 Δ < 0：在 x 轴上画一条直线 y = -b/(2a)，这条线与 x 轴的交点就是方程的一个重根。这个根不是唯一的，因为方程的解集是复数域。
解方程的技巧
要解这样的方程，可以使用以下技巧：
– 因式分解：如果方程可以因式分解，那么可以直接找到根。
– 求根公式：对于三次方程，可以使用求根公式来找到根。
– 图形方法：通过绘制函数图像来观察根的位置。
– 数值方法：使用数值方法（如牛顿法）来近似求解。
掌握一元三次方程的判别式是解决这类问题的关键。了解判别式的计算和其几何意义可以帮助你快速判断方程的根的性质，并选择合适的方法来求解。通过练习和应用这些知识，你可以提高解决实际问题的能力。