特征解析
特征解析允许我们将矩阵拆解为更简单的成分——其特征值和特征向量。这些成分揭示了原始矩阵的基本属性。在处理线性变换时，理解这种拆解是基础，它有助于我们掌握更高级的概念，如奇异值分解（SVD）和矩阵对角化。
特征解析涉及以下形式的方阵A表示：
这里：
– P是特征向量矩阵。
– D是特征值的对角矩阵。
– P⁻¹是P的逆矩阵。
特征值是描述线性变换如何缩放向量的标量，而特征向量是在变换下不改变方向的向量。并非所有矩阵都可以进行特征解析，但如果可以，它就会提供更简单、更易理解的矩阵形式。
主成分分析（PCA）：特征解析有助于在PCA中寻找主成分，这些主成分用于降低数据集的维度。
矩阵对角化：特征解析通过使矩阵对角化来简化复杂的矩阵运算。
求解线性方程组：特征值和特征向量为求解微分方程和动态系统提供了见解。
接下来，我们将手动计算一个2×2矩阵的特征解析过程。
给定矩阵，步骤如下：
1. 求特征值：
为了找到特征值，我们需要解决特征方程，其中λ是特征值，I是单位矩阵。对于此矩阵，展开行列式可以得到特征方程，进而求得特征值为λ₁=0和λ₂=5。
2. 求特征向量：
对于每个求得的特征值，我们需要解决（A-λI）v=0来找到相应的特征向量v。
当λ₁=0时，解此系统得到v₁=[1，2]。
当λ₂=5时，解此系统得到v₂=[2，1]。
接着，我们可以构造矩阵P和D：使用特征向量构建P，使用特征值构建D。
现在让我们使用Python来进行同一矩阵的特征解析计算。
输出结果：利用特征值和特征向量，我们可以重建原矩阵A。
对于对称矩阵（其中A=AT），它具有一些特殊性质：
– 它的特征值总是实数。
– 它的特征向量是正交的。
在Python中，我们可以用对称矩阵来探索这些问题。在对称矩阵的情况下，特征向量正交，这可以简化机器学习任务中的许多计算，如PCA。